2024-2025学年人教A版数学必修第二册6.3.1 平面向量基本定理 同步练习（含答案）

第六章　6.3　6.3.1平面向量基本定理 一、选择题 1．如图，向量a－b等于( ) A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 2．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝( ) A．b＋c B．c－b C．b－c D．b＋c 3．设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则( ) A．＝－＋ B．＝－ C．＝－ D．＝－＋ 4．如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝( ) A．a＋b B．a＋b C．a－b D．a＋b 5．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC中点，G为AC与DE的交点，若＝a，＝b，则用a，b表示＝( ) A．a－b B．b－a C．a－b D．b－a 6．(多选题)如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中错误的是( ) A．已知实数λ1、λ2，则向量λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内 B．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2可以不唯一 C．若有实数λ1、λ2使λ1e1＝λ2e2，则λ1＝λ2＝0 D．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2不一定存在 7．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝( ) A．2 B．4 C．5 D．7 8．在△ABC中，D为BC中点，M为AD中点，＝m＋n，则m＋n＝( ) A．－ B． C．1 D．－1 二、填空题 9.如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a、b为基底表示向量＝ 　. 10．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋3b平行，则实数λ＝　. 11．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝　. 12．已知O为△ABC内一点，且＋＝2，且λ＝，若B，O，D三点共线，则实数λ的值为___. 13．如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，则＋的值为___. 三、解答题 14．设e1，e2是平面内不平行的非零向量，a＝e1＋e2，b＝e1－2e2. (1)证明：a，b组成平面上向量的一组基底； (2)请探究是否存在实数k，使得ke1＋e2和3e1＋ke2平行？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 15．如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB． (1)试用向量a，b来表示，； (2)若＝，求证：D，O，N三点共线． 16．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：a，b可以作为一组基底； (2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式； (3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值． 第六章　6.3　6.3.1平面向量基本定理 一、选择题 1．C 2．A 由－＝2(－)， 所以3＝＋2＝c＋2b， 所以＝c＋b. 3．D ∵D为BC的中点，∴＝(＋)， 又O为靠近A的三等分点， ∴＝＝(＋)， ∴＝－＝－＋. 4．D 　由平面几何知识可得，＝，又＝a＋b，所以＝a＋b. 5．B 　在平行四边形ABCD中，AD∥BC， 故△ADG∽△CEG，所以＝＝2， 即＝2， ＝， 故＝－＝－＝(a＋b)－a＝－a＋b ，故选B． 6．ABD 选项A中，由平面向量基本定理知λ1e1＋λ2e2与e1、e2共面，所以A项不正确；选项B中，实数λ1、λ2有且仅有一对，所以B项不正确；选项D中，实数λ1、λ2一定存在，所以D项不正确；很明显C项正确． 7．B 以如图所示的两互相垂直的单位向量e1，e2为基底， 则a＝－e1＋e2，b＝6e1＋2e2，c＝－e1－3e2， 因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以－e1－3e2＝λ(－e1＋e2)＋μ(6e1＋2e2)＝(－λ＋6μ)e1＋(λ＋2μ)e2， 所以解得所以＝4.故选B． 8．A 因为D是BC的中点，所以＝＋，＝＝×(－)＝－. 又因为M是AD的中点， 所以，＝＋＝－＋(－)＝－＋， 又＝m＋n，所以m＝－，n＝，所以m＋n＝－.故选A． 二、填空题 9. b＋a　. 　＝＋＝＋＝＋＝b＋a. 10． 　. 　依据平行向量基本定理列方程组求解． ∵λa＋b与a＋3b平行， ∴可设λa＋b＝t(a＋3b) ... ...