浙江省宁波市2024-2025学年高三下学期高考模拟考试 数学试卷（图片版，含答案）

宁波市 2023 学年第二学期高考模拟考试 高三数学参考答案 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.B 7.C 8.D 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9.BC 10.ACD 11.ABD 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 1 12.15 13.9 14. (1,+ ) e 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（1）法一：连结 NP 交 BC 于点 R ，连结 A1R ， 点Q是 A1N 中点，点 P 是 NR 中点， PQ 是△NRA1 的中位线，即 PQ // RA1 ， 又 PQ 平面 A1BC ， RA1 平面 A1BC ， PQ // 平面 A1BC ．--5 分 法二：取 A1B1中点M ，连结MQ ， PM ． P为 B1C 的中点，M 为 A1B1中点， PM // A1C ， 又 PM 平面 A1BC ， PM // 平面 A1BC ， Q是 A N 的中点， QM // BC1 ， 又 QM 平面 A1BC ， QM // 平面 A1BC ， 又 PM QM = M ， 平面 PQM //平面 A1BC ， PQ // 平面 A1BC ．--5 分 法三：由题意，以 A原点，以 AC ， AB ， AA1 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示空间直角坐标系 A xyz ． A (0,0,2 2) ， B(0,2,0)，C(2,0,0)， B ， ，1 1(0,2,2 2) C1(2,0,2 2) 1 1 N (1,1,2 2)， P(1,1, 2)，Q , , 2 2 ， A1B = (0,2, 2 2) ， 2 2 1 1 BC = (2, 2,0) ， PQ = , , 2 ， 2 2 设平面 A1BC 的法向量 n = (x, y, z) ， A1B n = 0 2y 2 2z = 0 ，不妨令 z =1，则 x = 2 ， y = 2 ， n = ( 2, 2,1)， PQ n = 0， BC n = 0 2x 2y = 0 PQ // 平面 A1BC ．--5 分 （2）法一：由（1）可得 A1P = (1,1, 2) ，设 A1P 与平面 A1BC 所成角为 ， A1P n 2 10 10 则 sin = cos A1P,n = = = ，即 A1P 与平面 A1BC 所成角的正弦值为 ． A 2 5 10 101P n 法二： A1C = A1B ， R 为 BC 中点， A1R ⊥ BC ， N ， R 分别为 B1C1 和 BC 的中点， BB1// NR， 又 BB1 ⊥ BC ， NR ⊥ BC ， NR 平面 A1PR ， A1R 平面 A1PR ， NR A1R = R， BC ⊥平面 A1PR ， BC 平面 A1BC ， 平面 A1PR ⊥平面 A1BC ， 过点 P 作 A1R 的垂线 PH ， PH ⊥ A1R ，平面 A1PR 平面 A1BC = A1R ， PH ⊥平面 A1BC ，即 PA1H = PA1R为 A1P 与平面 A1BC 所成角的平面角. A1B1 = A1C1 = 2， N 是 B1C1 的中点， A1N = 2 ， BB1= NR = 2 2 ， NP = PR = 2 ， 由勾股定理，得 A 21P = A1N + NP 2 = 2， A R = A 2 21 1N + NR = 10 ， A P2 + A R2 PR2 4 +10 2 3 10 10 cos PA1H = cos PA1R = 1 1 = = ， sin PA R = . 2A1P A1R 2 2 10 10 1 10 10 即 A1P 与平面 A1BC 所成角的正弦值为 ．--13 分 10 16.（1）从 7 个自然数中任意选三个共有C37 = 35种选择，恰有一个偶数的情况有C 2 C14 3 =18种， 18 故概率为 .--6 分 35 （2）当 X = 2时，共有 5 种； 当 X =1时，共有 20 种； 当 X = 0 时，共有 10 种； X 的分布列如下： X 0 1 2 2 4 1 P 7 7 7 4 1 6 所以 E(X ) = 1+ 2 = .--15 分 7 7 7 2 1 x (2x +1) 17. （1）已知 f (x) = ln (x +1)+ x x ，则 f (x) = + 2x 1= , x 1， x +1 x +1 1 所以当 x 1, 时， f (x) 0， f ( x)单调递增； 2 1 当 x ,0 时， f (x) 0， f ( x)单调递减； 2 当 x (0,+ )时， f (x) 0， f ( x)单调递增. --5 分 （2）法一:因为 f (x) = ln(1+ x)+ ax2 x 1 2ax2 + (2a 1)x x(2ax + 2a 1) 所以 f (x) = + 2ax 1= = . 1+ x 1+ x 1+ x 设 g(x) = 2ax + 2a 1， 当 a 0时， g(x) 0，所以 f (x) 0 ，所以 f (x) 在[0,+ ) 上单调递减， 所以 f (x) f (0) = 0 ，不合题意. 1 1 2a 当 0 a 时，令 g (x) = 0 ，得 x = ... ...