利用勾股定理解决折叠问题 教学目标 理解折叠问题的实质，掌握解题步骤，明确解决问题的突破口. 能正确利用勾股定理解决折叠问题，进行直角三角形有关的计算. 经历观察、比较，发现折叠的过程，在讨论类比中探索勾股定理解决折叠问题的方法. 通过用代数式表示数量关系，用方程解决问题，体会数形结合思想，培养合情推理能力，激发学生的求知欲望，体会数学来源于生活又服务于生活. 学情分析 学生已经学习了图形的变换和勾股定理的相关知识，可以直接利用勾股定理求直角三角形的线段长度。会解一元一次方程，具有初步探究意识，小组合作能力，但是书写步骤规范性有待提高. 教学重点：探究折叠前后图形的变化特点和规律；利用勾股定理解决折叠问题，启发学生归纳、综合应用. 教学难点：学生能够熟练将方程思想和勾股定理结合，准确解决应用问题，规范书写格式，从中总结此类问题的解题技巧. 教学过程设计 知识链接 复习相关知识，通过小游戏进行“热身”. 链接1：勾股定理 链接2：图形的变化———折叠 设计意图：借助多媒体，结合之前所学知识进行课堂热身小游戏，引起学生注意，激发学生的兴趣. 探索新知 1. 三角形中的折叠 例1：一张直角三角形△ABC的纸片，如图1所示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合。若BC=3，AC=，求DC的长。 解：由折叠可知，△DEA≌△DEB ∴DA＝DB ∵BC=3，设DC=x ∴DB=BC-DC=3-x ∴DA=3-x ∵∠C=90° ∴在Rt△ACD中，DC2+AC2=DA2 即x2+（）2=（3-x）2 解得x=1 ∴DC=1 变式1：如图，有一块直角三角形的纸片,∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，求DC的长。 【归纳】 1、标已知，标问题 2、利用折叠，找全等 3、转化到直角三角形，标出三条边 4、利用勾股定理，列方程，解方程。 2. 长方形中的折叠 例2：如图2所示，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的F处。已知AB=8cm，AD=10cm，求EC的长。 【分析】根据折叠得到相等关系，明确EC在Rt△EFC中，表示出其三边，根据勾股定理列出方程。 解：由折叠可知，△AEF≌△ADE ∴AF=AD=10cm，EF=ED ∵四边形ABCD，AB=8cm ∴DC=AB=8cm，BC=AD=10cm，∠B=∠C=90° ∴在Rt△ABF， ∴CF= BC-BF=4cm 设EC=xcm，则EF=ED=（8-x）cm ∴在Rt△CEF中，EC2+ CF2=EF2 即x2+42=（8-x）2 解得 x=3 ∴EC=3 变式2：如图，在矩形ABCD中，已知AB=8，AD=6。将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到E，AE与CD相交于点F，求CF的长。 变式3：如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=9。将矩形ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，求△ABE的面积。 设计意图：通过典型例题讲解，让学生观察总结方法，使学生真正体会到做课堂的主人，培养他们的分析能力. 课堂检测 1、如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点落在对角线BD上的点E处，此时折痕DF的长是多少？ 2、如图，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，再将纸片折叠压平。 （1）找出图中的一对全等三角形，并证明； （2）△AEF是何种形状的三角形？说明你的理由； （3）求AE的长。 （4）试确定重叠部分△AEF的面积。 设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高. 课堂小结 本节课学习了什么？有哪些收获？ 一般解题步骤： 标 找 转 列 设计意图：培养学生归纳和语言表达能力，从而使学生的知识和方法更加系统， 同时也是情感升华的过程. ... ...
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