第6章　立体几何初步 5.1　直线与平面垂直--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

中小学教育资源及组卷应用平台 2025北师大版数学必修第二册 §5　垂直关系 5.1　直线与平面垂直 A级必备知识基础练 1.[探究点一]如图,α∩β=l,A,C∈α,B∈β,且AB⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的位置关系是(　　) A.异面 B.平行 C.垂直 D.不确定 2.[探究点二]如图,三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均相等,且侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则直线AD与平面ABC所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 3.[探究点一]平行四边形ABCD的对角线交点为O,点P在平行四边形ABCD所在平面外,且PA=PC,PD=PB,则直线PO与平面ABCD的位置关系是　　　　　. 4.[探究点四·2024北京石景山高一期中]在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离为　　　　. 5.[探究点二]在矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成的角是　　　　　. 6.[探究点一、二]如图所示,四边形ABCD是正方形,DE⊥平面ABCD,DE=DA=2. (1)求证:AC⊥平面BDE; (2)求AE与平面BDE所成的角的大小. 7.[探究点三]如图,直线EA,DC垂直于平面ABC,且EA=2DC,F是EB的中点.求证:DF∥平面ABC. B级关键能力提升练 8.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有 (　　) A.AG⊥△EFH所在平面 B.AH⊥△EFH所在平面 C.HF⊥△AEF所在平面 D.HG⊥△AEF所在平面 9.在四面体PABC中,若PA=PB=PC,则点P在平面ABC内的投影一定是△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 10.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AC,若AB∶BB1=∶1,则AB1与平面BB1C1C所成的角的大小为　　　　　. 11.如图,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点. (1)求证:MN∥平面PAD. (2)若PD与平面ABCD的夹角为α,当α为多少度时,MN⊥平面PCD C级学科素养创新练 12.如图所示,直升机上一点P在地面α上的射影是点A(即PA⊥α),从点P看地面上一物体B(不同于A),直线PB垂直于直升机玻璃窗所在的平面β.试探讨平面β与平面α的位置关系. §5　垂直关系 5.1　直线与平面垂直 1.C　∵AB⊥α,l α,∴AB⊥l.∵BC⊥β,l β,∴BC⊥l.又AB∩BC=B,AB,BC 平面ABC,∴l⊥平面ABC.又AC 平面ABC,∴l⊥AC. 2.A　取BC的中点E,连接AE,DE(图略).易知,DE⊥平面ABC,即∠DAE为直线AD与平面ABC所成的角.设三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2,则DE=1,AE=,tan∠DAE=,所以∠DAE=30°. 3.垂直　在△PAC中,PA=PC,O为AC的中点, ∴PO⊥AC. 同理,PO⊥BD. 又AC∩BD=O,AC,BD 平面ABCD, ∴PO⊥平面ABCD. 4.4　如图所示,作PD⊥BC于点D,连接AD. 因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC, 所以PA⊥BC. 又PD∩PA=P,所以BC⊥平面PAD. 又AD 平面PAD,BC 平面PAD, 所以AD⊥BC. 在△ACD中,AC=5,CD=3,所以AD=4. 在Rt△PAD中,PA=8,AD=4, 所以PD==4. 5.30°　由题意知,∠PCA为直线PC与平面ABCD所成的角. 在Rt△PAC中,tan∠PCA=, ∴∠PCA=30°. 6.(1)证明∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD. ∵DE⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,∴AC⊥DE. ∵BD∩DE=D,BD,DE 平面BDE, ∴AC⊥平面BDE. (2)解如图所示,设AC∩BD=O,连接EO, ∵AC⊥平面BDE,∴EO是直线AE在平面BDE上的射影, ∴∠AEO即为直线AE与平面BDE所成的角. 在Rt△EAD中,EA==2,AO=. ∴在Rt△EOA中,sin∠AEO=, ∴∠AEO=30°,即直线AE与平面BDE所成的角为30°. 7.证明取AB的中点M,连接CM,FM. 在△ABE中,F,M分别为EB,AB的中点,则FM∥EA,且EA=2FM. ∵EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABC, ∴DC∥EA,且EA=2DC, ∴DC∥FM,且DC=FM, 故四边形DCMF为平行四边形,则DF∥CM. 又CM 平面ABC,DF 平面ABC, ∴DF∥平面ABC. 8.B 9.A　如图,设点P在平面ABC内的投影为点O,连接OP,则PO⊥平面ABC, 连接OA,OB,OC,则PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC. 又PA=PB ... ...