7.3.1　复数的三角表示式 7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义--2025人教A版数学必修第二册（含解析）同步练习题

中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教A版数学必修第二册 7.3*　复数的三角表示 7.3.1　复数的三角表示式 7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 A级必备知识基础练 1.[探究点一]复数-i的三角形式是(　　) A.cos 60°+isin 60° B.-cos 60°+isin 60° C.cos 120°+isin 60° D.cos 120°+isin 120° 2.[探究点一]已知z=cos+isin,则下列结论正确的是(　　) A.z2的实部为1 B.z2=z-1 C.z2= D.|z2|=2 3.[探究点一·2024福建厦门高一月考]已知复数z=-i,则arg z=(　　) A. B.- C. D. 4.[探究点二]复数cos+isin经过n次乘方后,所得的复数等于它的共轭复数,则n的值等于(　　) A.3 B.12 C.6k-1(k∈Z) D.6k+1(k∈Z) 5.[探究点二][2(cos 60°+isin 60°)]3=　　　　　. 6.[探究点三]计算(cos π+isin π)÷cos+isin=　　　　　. 7.[探究点一]已知复数z1=-+i,若复数z满足2iz=z1,则复数z的辐角主值为　　　　　. 8.[探究点二]已知z1=,z2=6cos+isin,计算z1z2,并说明其几何意义. 9.[探究点一]将下列复数化为三角形式: (1)-+i; (2)-1-i; (3)-2cos+isin; (4)2sin+icos. B级关键能力提升练 10.若复数为实数,则正整数n的最小值是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 11.复数sin 4+icos 4的辐角主值为(　　) A.4 B.-4 C.2π-4 D.-4 12.已知复数z满足z2+2z+4=0,且arg z∈,π,则z的三角形式为z=　　　　. 13.计算:z=2÷cos+isin=　　　　　,则|z|=　　　　　. 14.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:eiθ=cos θ+isin θ,解决以下问题: (1)试将复数写成a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)的形式; (2)试求复数的模. 15.计算下列各式的值: (1)-i·2cos+isin; (2)3(cos 63°+isin 63°)·2(cos 99°+isin 99°)·5(cos 108°+isin 108°). 16.设z1=+i,z2=1-i,z3=sin+icos,求的值. 17.如图所示,已知平面内并列的三个全等的正方形,利用复数证明α+β+γ=. C级学科素养创新练 18.设A,B,C是△ABC的内角,z=(cos A+isin A)÷(cos B+isin B)·(cos C+isin C)是一个实数,则△ABC是(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.形状不能确定 19.已知k是实数,ω是非零复数,且满足arg ω=,(1+)2+(1+i)2=1+kω. (1)求ω; (2)设z=cos θ+isin θ,θ∈[0,2π),若|z-ω|=1+,求θ的值. 7.3*　复数的三角表示 7.3.1　复数的三角表示式 7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 1.D　令z=-i=a+bi(a,b∈R),z的模是r,z的辐角是θ,则r=|z|=1,a=-,b=可取θ=120°.∴-i的三角形式是cos 120°+isin 120°. 2.B　z=cos+isini.z2=i2=i=-i,其实部为-,故A错误;z-1=-i=z2,故B正确;i≠z2,故C错误;|z2|=-2+2=1,故D错误.故选B. 3.C　因为z=-i=2i=2cos+isin,所以arg z=.故选C. 4.C　由题意,得cos+isinn=cos+isin=cos-isin,由复数相等的定义,得解得=2kπ-(k∈Z),∴n=6k-1(k∈Z). 5.-8　原式=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]=8(cos 180°+isin 180°)=-8. 6.-i　(cos π+isin π)÷cos+isin=cos+isin=-i. 7.　因为z1=-+i,2iz=z1,所以z=i=cos+isin,所以复数z的辐角主值为. 8.解z1z2=6×cos+isin=3=3i. 首先作复数z1对应的向量,然后将绕点O按逆时针方向旋转,再将其长度伸长为原来的6倍,得到的向量即为z1z2所对应向量. 9.解(1)-+i=2cos+isin; (2)-1-i=2cos+isin; (3)-2cos+isin=2cos+isin; (4)2sin+icos=2cos+isin. 10.B　因为=i,所以由题意知in为实数,所以正整数n的最小值为2. 11.D　sin 4+icos 4=cos-4+isin-4. 12.2cos+isi ... ...