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课件网) 学习目标 1. 探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点） 2. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点） 导入新课 复习引入 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？ 2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？ 对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式 Δ = b2 - 4ac. 当 Δ ＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ ＜ 0 时，方程无实数根. 讲授新课 探索一元二次方程的根与系数的关系 一 算一算 解下列方程并完成填空： (1) x2 + 3x - 4 = 0；(2) x2 - 5x + 6 = 0；(3) 2x2 + 3x + 1 = 0. 一元二次方程 两 根 关 系 x1 x2 x2 + 3x - 4 = 0 x2 - 5x + 6 = 0 2x2 + 3x + 1 = 0 -4 1 2 3 -1 x1 + x2 = -3 x1·x2 = -4 x1 + x2 = 5 x1·x2 = 6 将二次项系数化为 1 猜一猜 （1）一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？ 重要发现 方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式 (x - x1)(x - x2) = 0 x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0 x2 + px + q = 0 x1 + x2 = -p， x1·x2 = q 猜一猜 （2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，那么，你可以得到什么结论？ 证一证： 注：b2 - 4ac≥0 ↗ 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根为 x1， x2，那么 注意 满足上述关系的前提条件 b2 - 4ac≥0. 归纳总结 一元二次方程的根与系数的关系的应用 二 例1 利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 – 6x – 15 = 0； 解： a = 1，b = – 6 ， c = – 15 . Δ = b2 - 4ac = ( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15 ) = 96 ＞ 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = - 15 . （2）3x2 + 7x - 9 = 0； x1 + x2 = ， x1 x2 = 解： a = 3，b = 7， c = -9. Δ = b2 4ac = 72 – 4×3×( 9 ) = 157 ＞ 0， ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 例2 已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2， 求它的另一个根及 k 的值. 解： 因方程有两个实数根，故 Δ = k + 120，则 k 是任意数.设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 2. 所以 x1·x2 = 2x2 = ，即 x2 = 由于 x1 + x2 = 2 + = ， 解得 k = -7. 答：方程的另一个根是 ，k 的值为 -7. 变式：已知关于 x 的方程 3x2 - 18x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值. 解：因方程有两个实数根，故 Δ = 18 - 12m， 得 m≤27.设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 1. 因为 x1 + x2 = 1 + x2 = 6， 所以 x2 = 5 . 由于 x1·x2 = 1×5 = ，解得 m = 15. 答：方程的另一个根是 5，m 的值为 15. 例3 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的 平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知 求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入. 设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则 (1) x1 + x2 = ； (2) x1·x2 = ； (3) ； (4) . 4 1 14 12 练一练 归纳 例4 设 x1，x2 是方程 x2 - 2(k - 1)x + k2 = 0 的两 个实数根，且 x12 + x22 = 4，求 k 的值. 解：因方程有两个实数根，故 Δ = 4(k - 1)2 - 4k2≥0， 即 -8k + 4≥0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k - 1)，x1 x2 = k2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x ... ...
