2024-2025学年甘肃省多校联考高二下学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.点关于平面对称的点的坐标是( ) A. B. C. D. 2.已知函数，则( ) A. B. C. D. 3.已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则( ) A. B. C. D. 4.对任意的，则( ) A. B. C. D. 5.下图是函数的导函数的图象，则函数的图象可能为( ) A. B. C. D. 6.已知某班级中，喜欢科幻小说的学生占，喜欢科幻小说且喜欢推理小说的学生占，若从这个班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢科幻小说的条件下，该学生也喜欢推理小说的概率为( ) A. B. C. D. 7.在函数的图象与轴围成的封闭图形内作一内接矩形，则可作矩形的最大面积为( ) A. B. C. D. 8.在空间中，若向量，，共面，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动．在某超市购买元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为，顾客小张中奖的概率为，则( ) A. 小王和小张都中奖的概率为 B. 小王和小张都没有中奖的概率为 C. 小王和小张中只有一个人中奖的概率为 D. 小王和小张中至多有一个人中奖的概率为 10.下列函数在定义域内不是单调函数的是( ) A. B. C. D. 11.已知是棱长为的正方体，与相交于点，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，且，则 ． 13.已知，则不等式的解集是 ． 14.有台车床加工同一类型的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，现从加工 出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数的图象过点，且． 求，的值； 求曲线在点处的切线方程． 16.本小题分 如图，在四棱柱中，平面，底面是平行四边形，． 求直线与平面所成角的正弦值； 求点到平面的距离． 17.本小题分 已知函数在区间上的值域为． 求实数、的值； 若函数有且仅有两个极值点，求实数的取值范围． 18.本小题分 如图，在三棱锥中，，平面平面，二面角为，已知． 求的长； 求锐二面角的余弦值． 19.本小题分 已知函数． 讨论函数的单调性； 若函数有两个零点，，且，曲线在这两个零点处的切线的交点的横坐标为，证明：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：因为函数 的图象过点 ， 所以 ． 又 ， ， 所以 ， 由解得： ， ． 由知 ， 又因为 ， ， 所以曲线 在 处的切线方程为 ， 即 ． 16.解：连接，相交于点，连接，相交于点， 由，可得为等边三角形， 又由为的中点，可得，，， 因为，， 所以， 又因为平面，所以平面， 由上知，，两两垂直，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 有，，，，，，， 设平面的法向量为， 由，， 有 取，，，可得平面的一个法向量为， 由， 有，，， 有， 故直线与平面所成角的正弦值为； 由，有， 可得点到平面的距离为． 17.解：， 令可得或，可得函数的增区间为，，减区间为 可得函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由，，， ， 又由，可得，可得，有， 又由， 可得，有， 可化为 ， 解方程可得，， 故实数，的值都为． 由得，有 若函数有且仅有两个极值点， 必有，可得． 18.解：如图，作，垂足为，连接， 因为平面平面， 平面平面，且平面， 所以平面，因为平面， ... ...
