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课件网) 6.4.1 平面几何中的向量方法 1.掌握用向量方法解决简单的几何实际问题. 2.体会向量是处理几何问题的重要工具. 如图， 是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量， 对于平面内的任一个向量 ，由平面向量基本定理可知，则有且只有一对实数x，y，使得 我们把有序数对（x，y）叫做向量 的坐标，记作 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 平面向量的坐标表示 两点间的距离公式:已知 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 两点间的距离公式:已知 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.下面通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用. 【解析】因为DE是△ABC的中位线，所以 【例1】如图，DE是△ABC的中位线，用向量的方法证明： DE∥BC， DE= BC． 用向量解决平面几何问题的步骤 建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题； 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等等； 把运算结果“翻译”成几何关系. 【解析】因为E，F分别是AB，BC的中点，所以 1.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2， 1.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)， 用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤 【基底法】 ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系. ④把几何问题向量化. 【坐标法】 ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找出相应关系； ④把几何问题向量化. 【例2】如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ 第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的 几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题； 第三步：把运算结果“翻译”成几何关系. 平行四边形两对角线长的平方和 等于 各边长的平方和 2.在△ABC中，已知AB=3，AC=4， ，求BC边上的中线AD的长. 3.已知点D为△ABC所在平面内一点，且 ，则 . 用向量解决平面几何问题的步骤 建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题； 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等等； 把运算结果“翻译”成几何关系. 用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤 【基底法】 ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系. ④把几何问题向量化. 【坐标法】 ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找出相应关系； ④把几何问题向量化. ... ...
