6．3.1　二项式定理 同步学案（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3

6．3.1　二项式定理 6．3.1　二项式定理(1) 1. 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 2. 掌握二项展开式的通项，并能解决与二项展开式有关的简单问题． 3. 提升归纳猜想、抽象概括、演绎证明等思维能力． 活动一 背景引入 我们知道，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3. 思考1 观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？ 思考2 根据你发现的规律，你能写出(a＋b)4的展开式吗？ 思考3 进一步地，你能写出(a＋b)n的展开式吗？ 活动二　二项式定理　 1. 二项式定理： (a＋b)n＝Can＋Can-1b1＋…＋Can－k·bk＋…＋Cbn(n∈N*). 思考4 如何证明这个结论呢？ 2. 二项式定理中的有关概念： 二项展开式 Can＋Can-1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N* 二项式系数 C(k＝0，1，2，…，n) 二项展开式的通项 Tk＋1＝Can－kbk 活动三 二项式定理的简单应用 例1　求6的展开式． 1. (a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：(1) 各项的次数和等于n.(2) 字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. 2. 逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢． (1) 求3 ＋4的展开式； (2) 化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1). 例2　(1) 求(1＋2x)7的展开式的第4项的系数； (2) 求2 －6的展开式中x2的系数． 二项式系数与项的系数的求解策略： (1) 二项式系数都是组合数C(k∈{0，1，2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念． (2) 第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第4项是T4＝C17-3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第4项的系数是C23＝280. (1) 求二项式的展开式的第6项的二项式系数和第6项的系数； (2) 求的展开式中x3的系数． 1. (2024浙江期中)在(1－2x)n的展开式中x的系数为－40，则n的值为(　　) A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 2. (2024北京怀柔期末)在二项式的展开式中，常数项为(　　) A. 20 B. －40 C. 80 D. －160 3. (多选)(2024石家庄月考)若对任意实数x，有(2x－3)8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a8(x－1)8，则下列结论中成立的是(　　) A. a0＝－1 B. a0＝1 C. a0＋a1＋a2＋…＋a8＝1 D. a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38 4. 若在二项式的展开式中含有x8的项，则正整数n的最小值为_____． 5. 求的展开式． 6．3.1　二项式定理(2) 1. 进一步理解二项式定理的有关概念． 2. 能熟练地运用二项展开式的通项求满足条件的项． 3. 会解决几个二项式的和与积的有关问题． 活动一　求二项展开式中的特定项　 例1　已知x2－n，根据下列条件，确定n的值： (1) 当展开式中的第3项的系数为36时，n＝_____； (2) 当展开式中的第5项是常数项时，n＝_____； (3) 当展开式中的第7项是x的一次项时，n＝_____． 例2　已知在－n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列． (1) 证明：展开式中没有常数项； (2) 求展开式中所有的有理项． 活动二　求较复杂展开式中的特定项　 例3　求在(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)20的展开式中含x3项的系数． 例4　求(1－x)5(1＋x＋x2)4的展开式中含x7项的系数． 例5　求在(x2＋3x＋2)4的展开式中含x5项的系数． 活动三　二项式定理的逆用　 例6　(1) 设n∈N*，则C＋C6＋C62＋…＋C6n-1＝_____； (2) Cxn－Cxn-1＋Cxn-2＋…＋(－1)nC＝_____． 1. 化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为(　　) A. x4　 B. (x－1)4　 C. (x＋1)4　 D. x4－1 2. (2024厦 ... ...