第2章测评--2025湘教版数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025湘教版数学选择性必修第二册 第2章测评 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,向量是(　　) A.有相同起点的向量 B.等长的向量 C.共面向量 D.不共面向量 2.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是(　　) A.a∥c,b∥c B.a∥b,a⊥c C.a∥c,a⊥b D.以上都不对 3. 如图,在空间直角坐标系中,有一棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,A1C的中点E到AB的中点F的距离为(　　) A.2 B. C.2 D.1 4.设向量不共面,空间一点P满足=x+y+z,则使A,B,C,P四点共面的一组数对(x,y,z)是(　　) A. B. C.(1,-2,3) D. 5.在四棱锥P-ABCD中,=(4,-2,3),=(-4,1,0),=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h等于(　　) A.1 B.2 C.13 D.26 6.已知两个不重合的平面,平面α与平面ABC,若平面α的法向量为n1=(2,-3,1),=(1,0,-2),=(1,1,1),则(　　) A.平面α∥平面ABC B.平面α⊥平面ABC C.平面α,平面ABC相交但不垂直 D.以上均有可能 7.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 8.已知棱长都为3的正三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为棱BB1,CC1上的点,当A1D+DE+EA取得最小值时,直线DE与平面AA1C1C所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 在棱长为1的正四面体ABCD中,E,F分别为BC,AD的中点,则下列命题正确的是 (　　) A.) B.EF= C.BC⊥平面AEF D.AE和CF夹角的正弦值为 10.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,如下四个结论正确的是(　　) A.AC⊥BD B.△ACD是等边三角形 C.AB与平面BCD所成的角为 D.AB与CD所成的角为 11. 如图,已知正方体的棱长为1,O1,O2分别为正方体上、下底面的中心,O3,O4,O5,O6分别为四个侧面的中心,由这六个中心构成一个八面体的顶点,则(　　) A.直线O1O3与直线O2O4所成角为60° B.二面角O1-O3O4-O5的正切值为 C.这个八面体的表面积为 D.这个八面体外接球的体积为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.棱长为a的正四面体中,=　　　　　. 13.设PA垂直于Rt△ABC所在的平面α,∠BAC=90°,PB,PC分别与α成45°和30°角,PA=2,则PA与BC的距离是　　　　　;点P到BC的距离是　　　　　. 14.已知向量m=(a,b,0),n=(c,d,1),其中a2+b2=c2+d2=1,现有以下说法: ①向量n与z轴正方向的夹角恒为定值(即与c,d无关); ②m·n的最大值为; ③m与n的夹角的最大值为; ④若定义u×v=|u|·|v|sin,则|m×n|的最大值为. 其中正确的有　　　　　.(写出所有正确说法的序号) 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13分)如图所示,在四棱锥M-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AM的长为3,且AM和AB,AD的夹角都是60°,N是CM的中点,设a=,b=,c=,试以{a,b,c}为基表示出向量,并求线段BN的长. 16.(15分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为 . (1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1; (2)设AB1与BC1的夹角为,求侧棱的长. 17.(15分)已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点. (1)用向量法证明E,F,G,H四点共面; (2)用向量法证明BD∥平面EFGH; (3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任一点O,有). 18.(17分) 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,点M在线段AB上,AC=BC=CC1=3,AM=,求直线AC1与平面B1MC所成角的正弦值. 19.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,∠ADC=90°,AB=AD=DC=2,PB=PD=3,BC⊥PD. (1)求证:平面PBD⊥平面ABCD; (2)在线段PC上是否存在异于P,C的一点M,使平面PBD与平面BDM夹角的 ... ...