19.3 课题学习 选择方案 教学设计2024-2025学年人教版数学八年级下册

人教版初中数学八年级下册 第十九章 一次函数 19.3 课题学习 选择方案 教学设计 一、内容和内容解析 内容 本节课是人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册第十九章“一次函数”中的“19.3 课题学习 选择方案”。主要内容包括：通过实际情境（如上网收费、租车方案等）建立一次函数模型，分析变量之间的关系，利用函数性质解决最优方案选择问题，涉及分段函数的表示、函数图像的比较、不等式与方程的应用。 内容解析 本节课是在学生学习了一次函数的概念、图像和性质的基础上，进一步应用函数模型解决实际决策问题。通过分析不同方案的成本、时间等变量，引导学生将实际问题转化为数学问题，利用函数比较大小、求交点等方法确定最优解。这不仅是函数知识的综合应用，也为后续学习线性规划、决策分析等奠定基础，同时培养学生的数学建模能力和优化意识。 二、目标和目标解析 目标 能根据实际问题中的变量关系建立一次函数模型，特别是分段函数。 通过比较函数值、分析函数图像，掌握方案优劣的判断方法。 综合运用方程、不等式和函数性质解决多变量优化问题。 目标解析 学生通过分析“上网收费” “租车方案”等实际案例，经历“问题抽象→建立模型→求解验证→决策优化”的过程，提升将生活问题数学化的能力。在解决多变量问题时，学会选取关键自变量，用函数描述约束条件，形成通过数学工具优化现实决策的思维模式，为高中学习线性规划和更复杂的优化问题积累经验。 三、教学问题诊断分析 模型建立困难：学生难以从复杂实际背景中抽象出变量关系，尤其对分段函数的定义理解模糊。 多变量分析能力弱：面对多个约束条件（如费用限额、人数要求）时，无法有效整合信息建立函数关系。 应用能力不足：在比较函数图像、求交点时易混淆自变量范围，导致方案选择错误。 四、教学过程设计 （一）情景引入 问题1 某家庭需安装宽带，现有三种套餐： 套餐A：月费30元，包25小时，超时每分钟0.05元； 套餐B：月费50元，包50小时，超时每分钟0.05元； 套餐C：月费120元，不限时。 若小明每月上网时间不定，应如何选择最省钱？ 问题2 若小明上月上网35小时，分别计算三种套餐的费用，并初步判断哪种可能最省。 问题3 能否用数学方法描述不同上网时间 （小时）与费用 （元）的关系？ 设计意图： 通过生活实例激发兴趣，引导学生从定性判断转向定量分析，初步感知函数建模的必要性，对应目标1中的模型建立能力。 （二）合作探究1 探究1 以套餐A为例，分析费用 与时间 的关系： 当 时，； 当 时，超时部分每分钟0.05元（即每小时3元），故 。 追问： 能否将分段关系合并为一个表达式？ 答： （三）巩固练习1 写出套餐B的函数解析式。 答案： 知识点：分段函数定义。 套餐C的函数解析式是什么？ 答案：（常函数）。 （四）合作探究2 探究2 在同一坐标系中绘制 的图像（描述关键点）： ：过点 ，，； ：过点 ，，； ：水平线 。 猜想： 通过图像交点判断最优区间。 验证： 解方程求交点： 时： → 时： → 时： → 结论： 时，A最省； 时，B最省； 时，C最省。 设计意图： 通过图像直观和代数求解双验证，强化数形结合思想，提升目标2中的函数分析能力。 （五）典例分析 例1 某学校组织234名学生和6名教师出游，租车费用不超过2300元。车辆信息： 甲种客车：载客45人/辆，租金400元/辆； 乙种客车：载客30人/辆，租金280元/辆。 每辆车需至少1名教师。求最省钱的租车方案。 解： 确定车辆数 ： 总人数240人，每车至少1名教师（共6名），故 （因 ）。 结合教师约束，取 （若 或 ，教师不足）。 建立函数： 设租甲种客车 辆，则乙种客车为 辆。 载客约束： → ； 费用函数：； 费用限额： → 。 综上， 取整数4或5。 比较方案： ：元； ：元。 故 ... ...