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课件网) 5.5 数学归纳法 新授课 1. 了解数学归纳法的原理及使用范围； 2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论； 3. 能用数学归纳法证明一些简单的命题. 情境 1：有人看到树上有一只乌鸦，感慨道“真是天下乌鸦一般黑啊！”，请问这个结论正确吗？ 情境 2：如果{an}是一个等差数列，通过下列推定可得： a1 = a1 = a1 + 0×d， a2 = a1 + d = a1 + 1×d， a3 = a2 + d = a1 + 2×d， ······ 归纳可得： an= a1 + (n – 1)d. 这个结论一定正确吗？ 思考：上述命题结论不一定都是正确的，如何解决这些存在的问题呢？ 知识点 1：数学归纳法 思考：当 n 较小时，可逐一验证，但当 n 取所有正整数时，如何验证？ 思路：通过有限个步骤的推理，证明 n 取所有正整数时命题都成立. 在多米诺骨牌游戏中，一列排好的多米诺骨牌，如果推倒第1张，则会让第2张倒下，而且后续的每一张倒下时能够导致下一张也倒下，则所有的骨牌都能倒下. ① 第一块骨牌倒下； ② 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下； （2）条件 ② 的作用是什么？如何用数学语言描述它？ 递推关系：第 k 块骨牌倒下 第 k + 1 块骨牌倒下. 结论：无论有多少块骨牌，只要保证①②成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下. （1）在游戏中，多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？ 理解：依据当n = k时，①式成立，证明了n = k + 1时， ①式也成立. 已知n=1,2,3,4,5都是成立的，则n=5+1=6也成立，n=6+1=7也成立，依次类推，所以①式对任意的正整数都成立了. 归纳总结 对所有正整数 n (n ≥ n0，n∈N*)，命题都成立 证明一个与正整数 n (n ≥ n0，n∈N*) 有关的的命题 ⅰ证明当n = n0 (n0∈N*)时 命题成立 ⅱ假设当n = k (k ≥ n0，k∈N*) 时命题成立，证明当n = k + 1 时命题也成立 归纳奠基 归纳递推 一个结论 数学归纳法 两个步骤 知识点 2：用数学归纳法证明相关问题 典例剖析 典例剖析 用上假设 通分、提取公因式 归纳总结 用数学归纳法证明恒等式时应关注以下三点： (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况； (2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加或减少了哪些项； (3)证明n=k+1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n=k+1证明目标的表达式变形. 1.用数学归纳法证明 1 + 2 + 3 + + 4n = 8n2 + 2n (n∈N*). (1)则当 n = k + 1时，等式两端在 n = k 的基础上是如何变化的？ 练一练 当 n = k (k∈N*) 时，1 + 2 + 3 + + 4k= 8k2 + 2k ； 当 n = k + 1 时，1 + 2 + 3 + + 4k + + 4(k + 1)= 8(k+1)2+2(k+1) ； 故左端应在 n = k 的基础上加上 (4k+1) + (4k+2) + (4k+3) + (4k+4)； 右端应在 n = k 的基础上加上16k+10. (2)请写出证明等式恒成立的完整过程. 用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 练一练 C 典例剖析 典例剖析 典例剖析 归纳总结 用数学归纳法证明不等式 当遇到与正整数n有关的不等式证明时，关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时运用归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．运用放缩法时，要注意放缩的“度”． 练一练 1. 什么是数学归纳法？. 2. 说说如何用数学归纳法证明一些简单的命题？ 回顾：结合本节课所学，回答下列问题？《数学归纳法》教学设计 执教教师 ××× 学科 数学 授课日期 2023.5.18 讲授章节 第五章 授课主题 § 5.5 数学归纳法 课时 1课时 课型 新授课 执教对象 高二学生 课标解读 在本节中，应注意从具体示例中感悟数学归纳法的原理，了解数学归纳法的关键步骤，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题，以及与正整数有关的命题.积累从具 ... ...
