2.3 空间向量基本定理及坐标表示 练习 一、选择题 1．已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是( ) A.、、 B.、、 C.、、 D.、、 2．向量，，则向量在向量上的投影向量是( ) A. B. C. D. 3．已知空间向量，，且，则( ) A.1 B.3 C. D.4 4．已知空间向量,,则下列向量可以与,构成空间向量的一组基底的是( ) A. B. C. D. 5．已知向量，，若，则x的值为( ) A.-3 B.3 C.-5 D.5 6．已知空间向量,,则( ) A. B. C. D. 7．已知向量,则( ) A.10 B.2 C.0 D. 8．棱长为2的正方体中，点E是的中点，则( ) A.0 B.1 C.2 D. 二、多项选择题 9．在棱长为2的正方体中,如图,以D为原点建立空间直角坐标系,E为中点,F为的中点,则( ) A. B. C. D. 10．如图,在正方体中,E,F分别是,的中点,G,H分别在线段,上,且满足,,设,,,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 11．已知空间直角坐标系中,点A的坐标为,坐标原点为O,且与方向相反,则( ) A. B. C. D. 三、填空题 12．已知空间向量，，若，则_____. 13．已知空间向量，，若，则_____. 14．已知，向量，，若，则_____. 15．在平行六面体中，若，则_____. 四、解答题 16．若,,三点共线,则_____． 17．在直四棱柱中，，，，，于点E，分别建立如图1、图2所示的空间直角坐标系，分别写出图中四棱柱各顶点的坐标. 18．如图，在平行六面体中，.P，M，N分别是的中点，点Q在上，且.用空间的一个基底表示下列向量： (1)； (2)； (3)； (4). 19．求证：以为顶点的三角形是等腰直角三角形. 20．如图，在正方体中，M，N分别为棱和的中点，求CM和所成角的余弦值. 参考答案 1．答案：A 解析：对于A选项，假设、、共面， 则存在、使得， 所以，，无解， 所以，、、不共面，可以作为空间的一组基底； 对于B选项，因为， 则、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底； 对于C，因为， 所以，、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底； 对于D，， 则、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底. 故选：A. 2．答案：A 解析：因为向量，， 则，， ， 所以向量在向量上投影向量为 故选：A． 3．答案：A 解析：由 可得， 解得. 故选：A. 4．答案：B 解析：对于A,由于基底向量不能是零向量,故A错误, 对于B,由于与,不共面,符合基底要求,故B正确, 对于C,,故,,共面,不符合要求,C错误, 对于D,,故,,共面,不符合要求,D错误, 故选：B. 5．答案：B 解析：因为向量，， 且，所以， 即， 解得：. 故选：B 6．答案：D 解析：空间向量,, 所以. 故选：D. 7．答案：C 解析：因为, . 所以. 故选:C 8．答案：C 解析：以点D为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， 故. 故选：C. 9．答案：BD 解析：由题意可知,,故A错误; ,故B正确; ,,,故C错误; ,故D正确. 故选:BD 10．答案：AD 解析：由已知可得,,,,. 对于A,,故A项正确; 对于B,,故B错误; 对于C,,故C项错误; 对于D,,故D项正确. 故选:AD. 11．答案：ABD 解析：由题意,得：, 且, 其中,则,,, 则：,即选项A正确; ,即选项B正确; ,即选项C错误; ,即选项D正确. 故选：ABD. 12．答案： 解析：因为， 所以，解得. 故答案为：. 13．答案： 解析：空间向量，， 则，解得 故答案为： 14．答案： 解析：由得，， 解得，所以. 故答案为：. 15．答案： 解析：如下图所示，有. 又因为， 所以 解得 所以=. 16．答案：0 解析：,, 因为,,三点共线, 所以, 即存在唯一实数,使得, 即, 所以,所以． 17．答案：图1，，，， 图2，，，，，，，， 解析：解：如图1，以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 因为，，所以且. 又，于点E，所以，则，. 过点B作轴于点H，由， 易得，且，，， 又，故，，，. 如图2，以E为坐标原点，， ... ...
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