人教版八年级下册数学教学设计 第十九章 一次函数 19.1.1 变量与函数 一、内容和内容解析 1. 内容 本节课是人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册第十九章“一次函数”的起始课，内容包括：通过生活实例理解变量与常量的概念，辨析自变量与函数的关系，掌握函数定义的核心要素（两个变量、唯一对应性），并能用解析式表示简单实际问题中的函数关系，确定自变量的取值范围。 2. 内容解析 函数是刻画现实世界变化规律的核心数学模型。本节课在学生已学习代数式、方程的基础上，首次系统建立函数思想。通过分析汽车行驶、票房收入、圆形涟漪、矩形周长等实例，引导学生从具体情境中抽象变量间的依赖关系，理解“唯一对应”这一函数本质特征，并学会用解析式描述函数关系。这为后续学习一次函数、反比例函数、二次函数奠定基础，同时培养数学建模与抽象思维能力。 二、目标和目标解析 1. 目标 (1) 能识别具体问题中的变量与常量，理解自变量与函数的定义； (2) 能根据实例归纳函数的核心特征（“两个变量”与“唯一对应”），并判断变量间关系是否为函数； (3) 能用解析式表示简单实际问题中的函数关系，确定自变量的取值范围。 2. 目标解析 达成目标 (1) 后，学生能将生活现象转化为数学语言，体会变化过程中“变”与“不变”的辩证关系；目标 (2) 强调从具体到抽象的思维过程，帮助学生建立函数概念的结构化认知；目标 (3) 要求学生综合运用数学知识与实际意义，发展应用意识与模型思想，为后续函数性质研究提供工具支持。 三、教学问题诊断分析 概念混淆：学生易混淆“变量”与“常量”，或忽视“唯一对应”这一关键特征，误认为所有关联变量都是函数关系； 抽象困难：从实例中抽象函数关系时，部分学生难以剥离非本质属性（如单位、具体数值），无法聚焦变量间的依赖本质； 实际意义忽视：求自变量取值范围时，易忽略实际限制（如时间非负、几何量约束），仅考虑解析式形式。 四、教学过程设计 (一) 情景引入 问题 1 电影票售价 10 元/张。若一场售出 张票，票房收入 元。 当 取 150, 205, 310 时， 的值如何确定？ 问题 2 用 10 m 绳子围矩形。一边长 m，邻边长 m 满足 。 若 , ，求 的值，并思考 能取任意实数吗？ 设计意图： 通过动态问题链，引导学生发现变化过程中的“变量”与“常量”，体会变量间的依赖关系。对应目标 (1)，培养从实际抽象数学概念的能力。 (二) 合作探究 1 探究 1 问题：上述实例中是否有共同规律？ 答：每个问题均涉及两个变量（如 与 、 与 ），当一个变量取定值时，另一变量有唯一确定值与其对应。 追问：圆的面积 与半径 的关系 是否满足此规律？ (三) 巩固练习 1 水箱原有水 10 L，每小时漏水 0.05 L。剩余水量 (L) 与时间 (h) 的关系为 。 问： 时， 此关系是否满足“唯一对应”？ 答：；是，因 每取一值， 唯一确定。 表：某地温度随时间变化 时间 (h) 6 8 10 12 温度 (°C) 18 22 25 28 问：温度是否为时间的函数？ 答：是，因每个时间对应唯一温度。 (四) 合作探究 2 探究 2 问题：函数定义中的“唯一确定”指什么？ 猜想：若变量 随 变化，且 每取一值， 有且仅有一个值对应，则 是 的函数。 验证： 例 1：正方形面积 （ 为边长）， 时 （唯一）； 反例：身高 与年龄 ，同一年龄可能对应不同身高（不唯一）。 探究 3：函数定义的核心要素 归纳： 一个变化过程； 两个变量 （自变量）、（函数）； 对于 的每一个值， 都有唯一值与其对应。 设计意图： 通过正反例辨析，深化对函数“唯一对应”本质的理解，突破概念混淆的难点。对应目标 (2)。 (五) 典例分析 例 1 汽车油箱有油 50 L，每千米耗油 0.1 L。剩余油量 (L) 与行驶路程 (km) 满足： (1) 求行驶 200 km 后剩余油量； (2) 确定 的 ... ...
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