数列-求和基本方法

数列求和的基本方法 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式： 4、 [例1] 已知，求的前n项和. 解：由 由等比数列求和公式得 （利用常用公式） ＝＝＝1－ [例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N ,求的最大值. 解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式） ∴ ＝ ＝＝ ∴ 当 ，即n＝8时， 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：………………………① 解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积 设………………………. ② （设制错位） ①－②得 （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得： ∴ [例4] 求数列前n项的和. 解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积 设…………………………………① ………………………………② （设制错位） ①－②得 （错位相减） ∴ 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个. [例5] 求证： 证明： 设………………………….. ① 把①式右边倒转过来得 （反序） 又由可得 …………..…….. ② ①+②得 （反序相加） ∴ [例6] 求的值 解：设…………. ① 将①式右边反序得 …………..② （反序） 又因为 ①+②得 （反序相加） ＝89 ∴ S＝44.5 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n项和：，… 解：设 将其每一项拆开再重新组合得 （分组） 当a＝1时，＝ （分组求和） 当时，＝ [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和. 解：设 ∴ ＝ 将其每一项拆开再重新组合得 Sn＝ （分组） ＝ ＝ （分组求和） ＝ 五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1） （2） （3） （4） （5） (6) [例9] 求数列的前n项和. 解：设 （裂项） 则 （裂项求和） ＝ ＝ [例10] 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和. 解： 　 ∵ 　 ∴ （裂项） ∴ 数列{bn}的前n项和 （裂项求和） ＝ ＝ [例11] 求证： 解：设 ∵ （裂项） ∴ （裂项求和） ＝ ＝＝＝ ∴　原等式成立 六、合并法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. [例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° ∵ （找特殊性质项） ∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+··· +（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和） ＝ 0 [例13] 数列{an}：，求S2002. 解：设S2002＝ 由可得 …… ∵ （找特殊性质项） ∴　S2002＝ （合并求和） ＝ ＝ ＝ ＝5 [例14] 在各项均为正数的等比数列中，若的值. 解：设 由等比数列的性质 （找特殊性质项） 和对数的运算性质 得 （合并求和） ＝ ＝ ＝10 七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法. [例15] 求之和. 解：由于 （找通项及特征） ∴ ＝ （分组求和） ＝ ＝ ＝ [例16] 已知数列{an}：的值. 解：∵ （找通项及特征） ＝ （设制分 ... ...