课时作业(十四) 向量数量积的坐标运算 (分值：90分) 一、选择题(单选每小题5分，多选每小题6分，共21分) 1．已知向量a＝(3，1)，b＝(x，－2)，c＝(0，2)，若a⊥(b－c)，则实数x＝( ) A． B． C．－ D．－ 解析：b－c＝(x，－4)，由a⊥(b－c)知3x－4＝0，∴x＝.故选A. 答案：A 2．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，4)，且a∥b，则|a－b|＝( ) A．5 B．3 C．2 D．2 解析：∵a∥b，∴4＋2x＝0，∴x＝－2，a－b＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)，∴|a－b|＝3.故选B. 答案：B 3．已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)，则a＋b在a－b方向上的投影的数量为( ) A．4 B．－2 C．2 D．－4 解析：a＝(－1，2)，b＝(3，2)，则a＋b＝(2，4)，a－b＝(－4，0)， 故a＋b在a－b方向上的投影的数量为＝＝＝－2.故选B. 答案：B 4．(多选)已知向量a＝(1，3)，b＝(2，y)，(a＋b)⊥a，则( ) A．b＝(2，－3) B．a·b＝－10 C．|a＋b|＝ D．向量a，b的夹角为 解析：因为a＝(1，3)，b＝(2，y)，则a＋b＝(3，3＋y)，且(a＋b)⊥a，则3×1＋3×(3＋y)＝0，解得y＝－4，则b＝(2，－4)，故A错误；a·b＝1×2＋3×(－4)＝－10，故B正确；a＋b＝(1，3)＋(1，－2)＝(2，1)，所以|a＋b|＝＝，故C错误；cos 〈a，b〉＝＝＝－，所以〈a，b〉＝，故D正确．故选BD. 答案：BD 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知向量a＝(－1，m)，b＝(n，2)，若a⊥b，且|a－b|＝，则m＋n＝_____． 解析：因为a＝(－1，m)，b＝(n，2)，a⊥b，所以a·b＝0，则－n＋2m＝0，得n＝2m，又a－b＝(－1－n，m－2)，所以|a－b|＝＝＝，解得m＝±1，所以m＋n＝3m＝±3. 答案：±3 6．设＝(1，1)，＝(3，0)，＝(3，5)(其中O为坐标原点)，则△ABC的面积为_____． 解析：＝(1，1)，＝(3，0)， 所以＝(2，－1)， 所以||＝＝， 同理||＝＝2，||＝＝5， 所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 所以△ABC为直角三角形， 所以S△ABC＝||·||＝×2＝5. 答案：5 7．已知＝(－2，1), ＝(0，2)，且∥， ⊥，则点C的坐标是_____． 解析：设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，＝(x，y－2)，＝(2，1)．由∥⊥，得解得∴点C的坐标为(－2，6). 答案：(－2，6) 三、解答题(共32分) 8．(15分)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)． (1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k； (3)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1，求d. 解析：(1)∵a＝mb＋nc， ∴(3，2)＝(－m＋4n，2m＋n)， ∴解得 (2)∵(a＋kc)∥(2b－a)，a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，∴2(3＋4k)＋5(2＋k)＝0， 解得k＝－. (3)∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2，4)，(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝1， ∴ 解得或 ∴d＝()或d＝()． 9．(17分)已知向量a＝(2t，t)，b＝(－3，1)，c＝(－1，4)． (1)求|a＋b|的最小值及相应t的值； (2)若＝b，＝c，其中O为坐标原点，点D在BC的延长线上，且|BD|＝3|BC|，求点D坐标． 解析：(1)因为向量a＝(2t，t)，b＝(－3，1)，所以a＋b＝(2t－3，t＋1)， 所以|a＋b|＝ ＝， 当t＝1时，|a＋b|取得最小值为＝. (2)由题意知，＝b＝(－3，1)，＝c＝(－1，4)，即B(－3，1)，C(－1，4)， 因为点D在BC的延长线上，且|BD|＝3|BC|，所以＝3， 设D(m，n)，则＝(m＋3，n－1)，＝(2，3)， 所以所以所以D(3，10)． [尖子生题库] 10．(5分)若A(1，2)，B(5，－4)，C(9，t)三点不能构成三角形，则t＝_____． 解析：由三点不能构成三角形，即三点共线，所以∥，且＝(4，－6)，＝(8，t－2)， 所以＝λ，且λ∈R，则可得 答案：－10 11．(17分)如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M. (1)求∠EMF的余弦值； (2)设＝λ，求λ的值及点M的坐标； (3)若点P自A点 ... ...
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