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课件网) 第二章 第2课时 正弦定理 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.掌握正弦定理及其变形. 2.了解正弦定理的证明方法. 3.能运用正弦定理解决相关问题,并能综合运用正弦定理和余弦定理解决问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点一 正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 名师点睛 对正弦定理的理解 (1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦值的连等式. (3)揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与其对角的正弦值之间的关系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关系. (4)主要功能:正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化. 思考辨析 在△ABC中,已知a>b,那么A与B有何关系 sin A与sin B呢 提示 根据大边对大角可知A>B,根据正弦定理可知sin A>sin B. 自主诊断 [人教A版教材例题]在△ABC中,已知A=15°,B=45°,c=3+ ,解这个三角形. 解 由三角形内角和定理,得C=180°-(A+B)=180°-(15°+45°)=120°. 由正弦定理,得 知识点二 正弦定理的拓展 1.正弦定理与三角形外接圆的关系 以Rt△ABC斜边AB为直径作外接圆,设这个外接圆的半径为R,则 利用此等式可进行边角转化 2.正弦定理的变形(R为△ABC外接圆的半径) 变式1:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. 变式3:asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A. 变式4:a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 名师点睛 思考辨析 正弦定理主要解决哪几类三角形问题 提示 (1)已知两角和任意一边,求其他两边和一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角). 自主诊断 在△ABC中,B=30°,C=45°,c=1,求边b的长及△ABC外接圆的半径R. 知识点三 三角形解的个数 1.已知三角形的两角及一边,根据正弦定理,有且只有一解. 2.已知三角形的两边及其中一边的对角,根据正弦定理,可能有两解、一解或无解.在△ABC中,当已知a,b和角A时,解的情况如下: 用“边a去堵角A的敞口”来理解更为形象 类型 A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 a
bsin A 两解 a=bsin A 一解 ab=4, 所以三角形有一解. (2)因为A=150°为钝角,a=7a>bsin A,所以三角形有两解. 重难探究·能力素养速提升 探究点一 已知两角和一边解三角形 解 因为B=30°,C=105°, 所以A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°. 规律方法 已知两角及一边解三角形的方法 (1)若所给边是已知两角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边. (2)若所给边不是已知两角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边. 探究点二 已知两边和其中一边的对角解三角形 【例2】 在△ABC中,已知下列条件,解三角形: 变式探究本例中,将条件改为“a=5,b=2,B=120°”,解三角形. 规律方法 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角 ... ... 
