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课件网) 第2章 6.2 函数的极值 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 极值的概念 极值是函数的一种局部性质 1.如图(1),在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值,称点x0为函数y=f(x)的 ,其函数值f(x0)为函数的 . (1) 极大值点 极大值 2.如图(2),在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值,称点x0为函数y=f(x)的 ,其函数值f(x0)为函数的 . 3.函数的极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极小值统称为极值. 极值点在区间的内部 (2) 极小值点 极小值 名师点睛 1.极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小. 2.极大值与极小值无确定的大小关系.在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值,即极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小. 思考辨析 函数f(x)可以有多个极大值和极小值吗 提示 可以,如函数f(x)=sin x,g(x)=cos x在R上有无数多个极大值和极小值. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)函数的极大值一定大于极小值.( ) (2)函数y=f(x)一定有极大值和极小值.( ) × × 2.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f'(x)的部分图象如图所示,则下面结论错误的是( ) A.在(1,2)内函数f(x)单调递增 B.在(3,4)内函数f(x)单调递减 C.在(1,3)内函数f(x)有极大值 D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点 D 解析 根据导函数图象知,x∈(1,2)时,f'(x)>0;x∈(2,4)时,f'(x)<0,x∈(4,5)时,f'(x)>0. ∴f(x)在(1,2),(4,5)内单调递增,在(2,4)内单调递减,x=2是f(x)在[1,5]上的极大值点,x=4是极小值点. 知识点2 求函数y=f(x)极值点、极值的方法 1.求出导数f'(x). 2.解方程f'(x)=0,得出方程的所有实数根. 3.对于方程f'(x)=0的每一个实数根x0,分析f'(x)在x0附近的符号(即f(x)的单调性),确定极值点和极值:从左到右,导函数f'(x)的符号变化.如果f'(x)的符号由正变负,此时x0是极大值点,f(x0)是极大值;如果由负变正,此时x0是极小值点,f(x0)是极小值,如果在f'(x)=0的根x=x0的左、右侧,f'(x)的符号不变,则f(x0)不是极值. 名师点睛 导数等于0的解不一定是极值点;反之,极值点一定是导数等于0的解,故须对f'(x)=0的解进行检验. 思考辨析 对于可导函数f(x),“f(x)在x=x0处的导数f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的什么条件 提示 必要不充分条件. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若函数y=f(x)在区间(a,x0)内单调递增,在区间(x0,b)内单调递减,则x0是函数y=f(x)的极大值点.( ) (2)对于函数y=f(x)=x3,因为f'(0)=0,所以x=0是它的极值点.( ) √ × 2.已知a是函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a等于( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 D 解析 ∵f(x)=x3-12x,∴f'(x)=3x2-12, 令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=2. 当x∈(-∞,-2),(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(-2,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, ∴f(x)的极小值点为2. 3.[人教B版P93例1]已知f(x)=x3,求所有使得f'(x)=0的x,并判断所求得的数是否为函数的极值点. 解 因为f'(x)=3x2, 令f'(x)=0,可知3x2=0,由此可解得x=0. 但0不是f(x)=x3的极值点,因为f(0)=0, 而0左侧的点的函数值总是小于0, 且0右侧的点的函数值总是大于0. 这也可以从函数f(x)=x3的图象 ... ...
