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课件网) 第七章 随机变量及其分布 数学 7.3.1 离散型随机变量的均值 学习目标 ①通过实例理解离散型随机变量的均值（数学期望）的概念和性质． ②能在具体事例中，根据离散型随机变量的分布列求出均值． ③会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题，并进行决策选择． 问题1.甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示:如何比较他们射箭水平的高低呢 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 课堂导入 假设甲射箭n次,射中7环、8环、9环和10环的频率分别 . 甲n次射箭射中的平均环数为= 7×+8×+9×+10×. 当n足够大时,频率稳定于概率,所以稳定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9. 即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9, 这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平. 同理,乙射中环数的平均值为7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65. 从平均值的角度比较,甲的射箭水平比乙高. 概念形成 1.随机变量X的均值： 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为: X x1 x2 ... xi ... xn P p1 p2 ... pi ... pn 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数. 它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平. 课堂探究 例题解析 例1 在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分,如果某运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值是多少 解：因为P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2, 所以E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.8+0×0.2 =0.8. 即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8. 课堂探究 一般地,如果随机变量X服从两点分布, X 1 0 P p 1-p 那么E(X)=1×p+0×(1-p)=p. 课堂探究 例2 抛掷一枚质地均匀的骰子,设出现的点数为X,求X的均值. X 1 2 3 4 5 6 P 课堂探究 方法总结 求离散型随机变量X的均值的步骤: (1)理解X的实际意义,写出X的全部可能取值; (2)求出X取每个值时的概率; (3)写出X的分布列(有时也可省略); (4)利用定义公式 求出均值. 课堂探究 变式练习 1.随机抛掷一个正四面体,正四面体每个面分别标号1,2,3,4, 求:朝下一面标号X的均值. X 1 2 3 4 P 课堂探究 问题2. 如果X是一个离散型随机变量,X加一个常数或乘一个常数后,其均值会怎样变化 即E(X+b)和E(aX)（其中a,b为常数）分别与E(X)由怎样的关系？ 随机变量X,X+b,aX的分布列如下表: X x1 x2 ... xi ... xn X+b x1+b x2+b ... xi+b ... xn+b aX ax1 ax2 ... axi ... axn P p1 p2 ... pi ... pn 课堂探究 所以E(X+b)=(x1+b)p1+(x2+b)p2+...+(xi+b)pi+...+(xn+b)pn =(x1p1+x2p2+...+xipi+...+xnpn)+bp1+bp2+...bpi+...+bpn =E(X)+b. 同理,E(aX)=aE(X). 课堂探究 一般地,E(aX+b)=aE(X)+b. 例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲A , B , C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示: 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1 000 2 000 3 000 规则如下:按照A , B , C的顺序猜,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首,求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值. 分析:根据规则,公益基金总额X的可能取值有四种情况:猜错A,获得0元基金; 猜对A而猜错B,获得1 000元基金;猜对A和B而猜错C,获得3 000元基金:A,B, C全部猜对,获得6 000元基金.因此X是一个离散型随机变量.利用独立条件下的乘法公式可求分布列. 课堂探究 解:分别用A ,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件,则A,B,C相互独立. P(X=0)= P() =0.2, P(X=1000)= P(A)=0.8×0.4=0.32, P(X=3000)= P(AB)= 0.8×0.6×0.6=0.288, P(X=6000)= P(ABC)=0.8×0.6×0.4=0.192. X的分布列如下表所示. X 0 100 ... ...
