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课件网) 6.4.3 余弦定理、 正弦定理 第2课时 正弦定理 第六章 平面向量及其应用 数学 学习目标 ①掌握正弦定理及其变形，能借助向量的运算探究正弦定理的证明过程. ②掌握三角形面积公式及其应用，能应用正弦定理解决相关问题，并能综合运用正弦定理和余弦定理解决问题. ③通过对实际问题的分析，建立相应的数学模型，提升分析问题、解决问题的能力，加强运算能力的训练和提升数学建模素养. 学习重难点 重点： 正弦定理的内容、证明过程及基本运用. 难点： 正弦定理的探索及证明. 阅读课本45-48页，思考并完成以下问题： 1、直角三角形中的边角关系是怎样的？ 2、什么是正弦定理？ 3、正弦定理可进行怎样的变形？ 4、已知三角形的两边及内角怎样求其面积？ 自主预习 课堂导入 课堂探究 3.利用正弦定理解三角形 (1)已知三角形的两角和一边,求其他两边和一角; (2)已知三角形的两边和其中一边的对角,求其他两角和一边. 课堂探究 【典例分析】 题型一 已知两角及一边解三角形 例1 在△ABC中，A＝30°，C＝105°，a＝10，求b，c，B. 课堂探究 课堂探究 解题技巧:(已知两角及一边解三角形的基本方法) (1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三条边; (2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边. 课堂探究 A 课堂探究 题型二 已知两边及其中一边的对角解三角形 例2 在△ABC中,已知A=45°,c=,a=2,求b,B,C. 解 ∵,∴sin C=, ∴C=60°或C=120°.当C=60°时,B=75°, ∴b=+1; 当C=120°时,B=15°, ∴b= =-1. 综上,b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°. 解题技巧:(已知两边及其中一边的对角解三角形的方法) (1)首先由正弦定理求出另一边的对角的正弦值; (2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求唯一锐角; (3)如果已知的角为小边所对的角时,由正弦值可求两个角,要分类讨论. 课堂探究 跟踪训练2 (1)在△ABC中,若B=45°,b=,a=1,则A= . (2)在△ABC中,已知a=1,b=,A=30°,求c的值. 课堂探究 (1)答案 30° 解析 由题意及正弦定理可得, 解得sin A=,所以A=30°或A=150°. 又因为b>a,所以B>A,所以A=30°. (2)解 由,得sin B=, 则B=60°或B=120°. ①当B=60°时,C=180°-60°-30°=90°, 此时c==2; ②当B=120°时,C=180°-120°-30°=30°, 此时c=a=1. 综上,c的值为1或2. 30° 题型三 正弦定理在边角互化中的应用 课堂探究 例3 (1)在△ABC中,若b+c=1,C=45°,B=30°,则b= . (2)在△ABC中,,试判断△ABC的形状. (1)答案 -1 解析 因为, 所以, 所以b=·sin B=-1. (2)解 根据正弦定理,得,整理,得. ∵A,B,C∈(0,π),∴A=B=C, ∴△ABC为等边三角形. -1 解题技巧:(正弦定理在边角互化中的应用技巧) 利用正弦定理将边化为角或者将角化为边处理,是正弦定理的一种重要作用,也是处理三角形问题的一种重要手段.正弦定理的变形有多种形式,要根据题目选择合适的形式使用.在判断三角形形状时: (1)化角为边.将题目中的所有条件,利用正弦定理化角为边,再根据多项式的有关知识(因式分解、配方等)得到边的关系,如a=b,a2+b2=c2等,进而确定三角形的形状.利用的公式为sin A=,sin B=,sin C=（R为△ABC外接圆的半径）. (2)化边为角.将题目中所有的条件,利用正弦定理化边为角,再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系,进而确定三角形的形状.利用的公式为a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC （R为△ABC外接圆的半径）. 课堂探究 跟踪训练3 (1)在△ABC中,若acos A=bsin B,则sin Acos A+cos2B=( ) A.1 B. ... ...
