2.4.3 向量与夹角 学案（含答案）

2．4.3　向量与夹角 (1)理解直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角定义．(2)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题． 新知初探·课前预习———突出基础性 教 材 要 点 要点一　异面直线所成的角 设两条异面直线l1与l2所成的角为θ(θ∈(0，])，它们的方向向量分别为v1，v2，则cos θ＝|cos 〈v1，v2〉|＝. 要点二　直线与平面所成的角 直线l与平面α所成的角为θ，v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则sin θ＝|cos 〈v，n〉|＝. 要点三　平面与平面所成的角 设两个平面α1和α2所成的角为θ，平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝. 批注 　异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以计算公式中要加绝对值． 批注 　直线与平面所成角的范围为[0，]，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以计算公式中要加绝对值． 批注 　利用公式求二面角的平面角时，要注意〉与二面角大小的关系，是相等还是互补，需要结合图形进行判断 基 础 自 测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　　) (2)直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角．(　　) (3)二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角．(　　) 2．设直线l1的方向向量为s1＝(1，1，1)，直线l2的方向向量为s2＝(－2，2，－2)，则l1，l2夹角的余弦值为(　　) A．－　　　B． C．　　　D． 3．已知两平面的法向量分别为n1＝(0，1，0)，n2＝(0，－1，1)，则两平面所成的锐二面角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 4．若直线l的方向向量为v＝(1，0，3)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，2)，则直线l与平面α所成角的正弦值为_____． 题型探究·课堂解透———强化创新性 题型1　向量法求两异面直线所成角 例1　如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成的角． 方法归纳 利用坐标法求两异面直线所成角的步骤 巩固训练1　在三棱锥O ABC中，OA，OB，OC两两互相垂直，E为OC的中点，且2OA＝OB＝OC＝2，求直线AE与BC所成角的大小． 题型2　向量法求直线与平面所成角 例2　在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，AA1＝3，N为BB1的中点，求直线A1N与平面A1BC所成角的正弦值． 方法归纳 利用法向量计算直线与平面的夹角θ的步骤 巩固训练2　如图所示，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3. 求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值． 题型3　向量法求两个平面所成的夹角 例3　在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA＝90°，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2. (1)求证：平面QAB∥平面PDC； (2)求平面PBC与平面PBQ夹角的余弦值． 方法归纳 利用法向量求两个平面夹角的步骤 巩固训练3　在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AD⊥AB，E，F分别是棱AB，PC的中点． (1)证明：EF∥平面PAD； (2)若PA＝AB＝BC，AD＝2BC，求平面AEF与平面CDF夹角的余弦值． 2．4.3　向量与夹角 新知初探·课前预习 [基础自测] 1．(1)×　(2)×　(3)× 2．解析：∵cos 〈s1，s2〉＝＝－， ∴l1，l2夹角的余弦值为. 答案：B 3．解析：cos 〈n1，n2〉＝＝＝－，所以两平面所成的锐二面角的大小为45°. 答案：B 4．解析：设v＝(1，0，3)与n＝(－2，0，2)的夹角为θ，直线l与平面α所成角为φ， 所以sin φ＝|cos θ|＝ ＝＝. 答案： 题型探究·课堂解透 例1解析：分别以直线BC，BA，B1B为x，y，z轴，建立空间 ... ...