专题4.1 因式分解【十大题型】（举一反三）（北师大版）（含答案）2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（北师大版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题4.1 因式分解【十大题型】 【北师大版】 【题型1 整式乘法与因式分解的关系】 3 【题型2 利用因式分解求值】 3 【题型3 利用因式分解进行简便运算】 3 【题型4 利用因式分解解决整除问题】 4 【题型5 利用因式分解确定三角形的形状】 5 【题型6 因式分解的实际应用】 5 【题型7 利用整体思想进行因式分解】 6 【题型8 因式分解中的新定义问题】 8 【题型9 利用添项进行因式分解】 9 【题型10 利用拆项进行因式分解】 9 知识点1：因式分解 1．因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． （1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 2．用提公因式法分解因式 （1）公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． （2）怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． （3）提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． （4）提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． （1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 3．用平方差公式分解因式 （1）平方差公式的等号两边互换位置，得 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． （2）特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 4．用完全平方公式分解因式 （1）完全平方公式的等号两边互换位置，得 ， 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． （2）特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． （3）公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 【题型1 整式乘法与因式分解的关系】 【例1】（23-24八年级·全国·单元测试）已知是的一个因式，则 ． 【变式1-1】（23-24·安徽马鞍山·八年级期末）若多项式因式分解后结果是，则的值是 ． 【变式1-2】（23-24八年级·上海长宁·期中）已知多项式可分解为两个整系数的一次因式的积，则 .. 【变式1-3】（23-24八年级·广西贵港·期中）在将因式分解时，小刚看 ... ...