第十章 二元一次方程组 第1节 解方程组 1.代入消元法 把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 2.加减消元法 把一个方程或者两个方程的两边都乘适当的数，使二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解. 3.叠加法 当两个方程的特征为以下三种时，可考虑用叠加法，即将等式两边分别相加或相减，达到化简消元的目的.叠加法的本质是加减消元法. （1） （2） （3） 4.换元法 对结构比较复杂的方程组，把其中某些部分看成一个整体后用新字母代替（即换元），实现降次、化分式为整式或化繁为简等，从而得到一个关于新字母的方程组，解这个新方程组后，再代回，即可得到原方程组的解. 5.参数法 如果方程组中有一个方程是等比的形式，如，令一个参数等于这个比值，然后把未知数用参数来表示，得到一个关于参数的方程，解这个新方程，进而求出原未知数. 例1 解下列方程组： （1）（2） （3）（4） （1）该方程组为轮换对称型方程组，将两个方程相加或相减后，可以的到一个相对简单的方程，再代入求解即可；（2）该方程组为系数差同型方程组，将两个方程相减后，得到一个相对简单的方程，再进行代入求解即可；（3）每个方程中都含有和，设，，将原方程转化为关于a，b的二元一次方程组，利用消元法求出a，b的值后，再得到关于x，y的方程组，求解即可；（4）方程组中含有比例关系，依据比例设参数，得到关于参数的方程，解出参数的值后，即可得到原方程组的解. 解析 （1） （①+②）÷4039，得③ ①-2019×③，得则 所以方程组的解为 （2） （①-②）÷2，得③ ①-2020×③，得则 所以方程组的解为 （3）设，，则 解这个方程组，得则 解这个方程组，得 （4）设 则解得 所以原方程的解为 解二元一次方程组的核心目的是消元，对于特殊的二元一次方程组而言，解决的关键是简化方程组，而确定简化的方法则是看所包括的方程组的特征，如果同一个未知数的系数很特殊，则考虑将方程相加或相减；如果方程所含未知数很特殊，则考虑用换元法简化. 1．解下列方程组： (1)； (2) 2．用换元法解方程组． 3．解下列三元一次方程组： (1) (2) 1.若两个方程中绝对值符号内的代数式相同，则可参考换元法的思路，将这个代数式的绝对值看作一个整体的未知数，解出整体的绝对值，再根据含绝对值的一元一次方程求解. 2.若两个方程中绝对值符号内的代数式不同，则可分别讨论绝对值符号内代数式的正负来去掉绝对值符号，从而得到新的方程组，进行求解. 例2 解下列方程组： （1）（2） （1）将分别看成整体，通过解方程组求出，再去掉绝对值符号，得到原方程组的解；（2）对绝对值内的代数式进行分类讨论，去掉绝对值符号，得到两个新方程组，分别求解即可. 解析 （1） ①×2-②，得将其代入①，得 则原方程的解为 （2）当时，原方程组为解得 当时，原方程组为解得 综上，原方程组的解为 对于含绝对值的方程组，要先看绝对值符号中的代数式是否相同，如果相同，则利用整体思想，先求出整体的值，再去掉绝对值符号；如果不同或只有一个绝对值，则利用分类讨论，将方程组化成标准的二元一次方程组进行求解，求出解后，切记要进行验证. 4．方程的解共有 ． 5．解方程组： (1)； (2)． 6．解方程组： 7．解下列方程组： (1) (2) (3)已知的解为，则关于的方程的解为_____． 8．已知关于，的二元一次方程组，求的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察 ... ...
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