【新课预习衔接】3.3空间向量基本定理与空间向量运算的坐标表示（培优卷.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册北师大版（2019）

中小学教育资源及组卷应用平台 新课预习衔接 空间向量基本定理与空间向量运算的坐标表示 一．选择题（共3小题） 1．（2024秋 辽宁月考）设x，y∈R，向量（x，1，1），（1，y，1），（2，﹣4，2），且⊥，∥，则||＝（　　） A． B． C．3 D．4 2．（2024春 永昌县校级期末）已知是空间的一个基底，，若，则x+y＝（　　） A．0 B．﹣6 C．6 D．5 3．（2024春 酒泉期中）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为PD的中点，若，，，则用基底表示向量为（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共2小题） （多选）4．（2024春 集宁区校级期末）已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（　　） A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数x，y，z，使得 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若，，则 D．若所在直线两两共面，则共面 （多选）5．（2024 桐柏县期末）已知向量，，则下列结论正确的是（　　） A．若，则m＝4，n＝﹣4 B．若，则m＝﹣4，n＝4 C．若，则m﹣n+1＝0 D．若，则n﹣m+1＝0 三．填空题（共5小题） 6．（2024 山东月考）已知向量，，，若，则m＝　 　． 7．（2024 江西期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PD上一点，且，，则x+y+z＝　 　． 8．（2024 随州模拟）已知，，若，则实数λ的值为 　 　． 9．（2024 新化县期末）已知向量，则λ＝　 　． 10．（2024 济源期末）如图，在四棱台ABCD﹣A'B'C'D'中，AA'＝4，∠BAD＝∠BAA'＝∠DAA'＝60°，则的最小值为 　 　． 四．解答题（共5小题） 11．（2024春 琼山区校级期末）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．设，，． （Ⅰ）试用表示向量； （Ⅱ）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长． 12．（2024 中原区校级月考）已知向量，． （1）求与的夹角余弦值． （2）若，求实数λ的值． 13．（2024 林芝市期末）已知空间向量． （1）求； （2）若向量与垂直，求实数k的值． 14．（2024 松山区期末）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为． （1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； （2）设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长． 15．（2024 贺兰县校级期末）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M是A1B1的中点． （1）求cos，的值； （2）求证：A1B⊥C1M． 新课预习衔接 空间向量基本定理与空间向量运算的坐标表示 参考答案与试题解析 一．选择题（共3小题） 1．（2024秋 辽宁月考）设x，y∈R，向量（x，1，1），（1，y，1），（2，﹣4，2），且⊥，∥，则||＝（　　） A． B． C．3 D．4 【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直． 【专题】计算题；方程思想；定义法；平面向量及应用；数学运算． 【答案】C 【分析】利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出x，y，再由平面向量坐标运算法则求出，由此能求出||． 【解答】解：设x，y∈R，向量（x，1，1），（1，y，1），（2，﹣4，2）， 且⊥，∥， ∴，解得x＝1，y＝﹣2， ∴（1，1，1）+（1，﹣2，1）＝（2，﹣1，2）， ∴||． 故选：C． 【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量平行、向量垂直、平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．（2024春 永昌县校级期末）已知是空间的一个基底，，若，则x+y＝（　　） A．0 B．﹣6 C．6 D．5 【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；空间向量的共线与共面． 【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；数学运算． 【答案】C 【分析】首先化简向量，再代入向量平行的坐标表示公式，即可求解． 【解答】解：，因为，所以存在实数λ，使得， 所以， 所以解得 所以x+y＝6． 故选：C ... ...