2025年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试卷 一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知一组样本数据为“，，，，，，”，该样本数据的中位数是( ) A. B. C. D. 2.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 3.函数的定义域为( ) A. B. C. D. 4.已知复数，则( ) A. B. C. D. 5.已知向量，，且，则的值是( ) A. B. C. D. 6.已知的三个内角、、，则“”是“为直角三角形”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.若想要得到函数的图象，只需要将的图象( ) A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 8.对于函数，下列说法正确的是( ) A. 是偶函数，且在上单调递增 B. 是偶函数，且在上单调递减 C. 是奇函数，且在上单调递增 D. 是奇函数，且在上单调递减 9.设函数，，的零点分别为、、，则下列说法中正确的是( ) A. B. C. D. 10.在三棱柱中，已知，是的中点，是的中点，与相交于点，，，则与所成的角的大小为( ) A. B. C. D. 11.在矩形中，，，为上靠近点的三等分点，为上的中点，连接，，与交于点，则( ) A. B. C. D. 12.已知定义在上的函数满足：，且当时，，若在上恒成立，则实数的最大值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 13.对于实数、、、，下列选项中正确的是( ) A. ， B. ，， C. ， D. ，， 14.用一个平面截取一个正方体，所得截面的形状可能是( ) A. 六边形 B. 五边形 C. 直角三角形 D. 矩形 15.如图所示，矩形的周长为，将沿着矩形的对角线翻折至，交于点，则下列说法中正确的是( ) A. 是等腰三角形 B. 的周长为 C. 面积的最小值为 D. 面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。 16.已知，则 ． 17.函数，已知，则 ． 18.某校抽取了名学生的体育考试的分数，某同学用频率分布直方图表示出来如图所示，则可以得出分数在区间的人数为 ． 四、解答题：本题共3小题，共37分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 甲、乙二人各自独立地破译一份密码，甲破译密码成功的概率为，乙破译密码成功的概率为，且两者结果相互独立，请回答下列问题： 求甲和乙同时成功破译密码的概率； 求密码被成功破译的概率． 20.本小题分 如图所示，四边形是正方形在平面上的投影，请回答下列问题： 证明：平面平面； 若，且，且． Ⅰ证明：平面； Ⅱ试求的体积． 21.本小题分 已知函数，，． 已知，，求的值； 若的最小值为，求的值； 若对任意，存在，使得恒成立，求的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.解：设甲破译成功为事件，设甲破译成功为事件， 两人都破译成功则为； 密码未被破译成功的概率， 所以密码被破译成功的概率为． 20.解：，平面，平面， 所以平面， 又为正方形，故，平面，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面平面； Ⅰ正方形的平行投影有三种情况，正方形，矩形，平行四边形或线段， 显然投影不是线段，由于，故正方形的投影为矩形， 即四边形为矩形，要想投影为矩形，需满足，且， ， 又，，平面， 所以平面， Ⅱ可视作直四棱柱， 其中，， 所以，，故四边形为等腰梯形， 过点分别作，于点， 故，， 由勾股定理得， 故等腰梯形的面积为， 又， 故． 21.解：，且，，； 因为是恒成立的，而，即恒成立． 当时，显然成立； 当时，恒成立，且能取到等号的，则； 当时，恒成立，且能取到等号的，则； 综上所述，； 对任意，存在，都有． 由于，当时，单调递增，单调递增，所以单调递减， 则， 即存在，使得，即， 而，则，， 所 ... ...
