第3课时 等差数列的综合问题(深化课———题型研究式教学) 课时目标 进一步理解等差数列,掌握等差数列的判定与证明方法.能灵活设项解等差数列.会由等差数列构造新数列. 题型(一) 等差数列的判定与证明 [例1] 已知数列{an}中,a1=2,an=2-(n≥2,n∈N+),设bn=(n∈N+). (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式. 听课记录: [变式拓展] 本例条件“an=2-(n≥2,n∈N+)”变为“an+1=”,那么数列是否为等差数列 请说明理由. [思维建模] 证明等差数列的方法 证明等差数列的常用方法是定义法、等差中项法、通项公式法. (1)在解答题中,证明一个数列是等差数列首选定义法;其次是等差中项法. (2)通项公式法可用于选择、填空题的求解. [针对训练] 1.已知在数列{an}中,a1=1,an=2an-1+1(n≥2,n∈N*),记bn=log2(an+1). (1)判断{bn}是否为等差数列,并说明理由; (2)求数列{an}的通项公式. 题型(二) 等差数列项的设法与求解 [例2] 已知三个数成等差数列,它们的和为21,它们的平方和为155,求这三个数. 听课记录: [变式拓展] 本例条件变为:已知四个数成等差数列且是递增数列,这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求这四个数. [思维建模] 利用等差数列的定义巧设未知量,可以简化计算,其设元技巧为 (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这两个数为a-d,a+d,公差为2d; (2)三个数成等差数列且知其和,常设此三数为a-d,a,a+d,公差为d; (3)四个数成等差数列且知其和,常设成a-3d,a-d,a+d,a+3d,公差为2d. [针对训练] 2.已知递增的等差数列{an}的前三项之和为21,前三项之积为231,求数列的通项公式. 题型(三) 由等差数列构造新数列 [例3] 已知{an}为等差数列,且a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入三个数,使它们和原数列的数构成一个新的等差数列,求: (1)原数列的第12项是新数列的第几项 (2)新数列的第29项是原数列的第几项 听课记录: [思维建模] 对于任何形式的构造数列,判断是否为等差数列,一般从两个方面进行判断: (1)定义:an+1-an是否为常数; (2)通项公式是否为关于n的一次函数. [针对训练] 3.在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入 2个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn},则b97是数列{an}的第 ( ) A.32项 B.33项 C.34项 D.35项 4.有两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的项数为 ( ) A.15 B.16 C.17 D.18 等差数列的综合问题 [题型(一)] [例1] 解:(1)证明:因为an=2-,所以an+1=2-.则bn+1-bn=-=-==1,所以{bn}是首项为b1==1,公差为1的等差数列. (2)由(1)知bn=n,所以bn==n(n∈N+),解得an=1+,所以{an}的通项公式为an=1+(n∈N+). [变式拓展] 解:数列是等差数列,理由如下: ∵a1=2,an+1=, ∴==+, ∴-=, 即数列是首项为=,公差为d=的等差数列. [针对训练] 1.解:(1){bn}是等差数列,理由如下: b1=log2(a1+1)=log22=1,当n≥2时,bn-bn-1=log2(an+1)-log2(an-1+1)=log2=log2=1, ∴{bn}是以1为首项,1为公差的等差数列. (2)由(1)知,bn=1+(n-1)×1=n, ∴an+1==2n,∴an=2n-1. [题型(二)] [例2] 解:法一 设这三个数首项为a1,公差为d, 则 解得或 所以这三个数依次为5,7,9或9,7,5. 法二 设这三个数为a-d,a,a+d, 则 解得或 所以这三个数依次为5,7,9或9,7,5. [变式拓展] 解:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则 又该数列是递增数列,所以d>0, 所以a=±,d=, 所以此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1. [针对训练] 2.解:设等差数列的前三项分别为a-d,a,a+d,由题意,得 即解得 ∵等差数列{an}是递增数列,∴d=4. ∴等差数列的首项为3,公差为4. ∴an=3+4(n-1)=4n-1. [题型(三)] [例3] 解:(1)设新数列为{bn} ... ...
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