6.3.1 导数与函数的最值(强基课———梯度进阶式教学) 课时目标 1.能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值. 2.体会导数与单调性、最大(小)值的关系. 1.函数f(x)在区间[a,b]上的最值 (1)取得最值的条件:在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条 的曲线. (2)结论:函数y=f(x)必有最大值和最小值,函数的最值在 或 取得. 2.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最值的步骤 (1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的 . (2)将函数y=f(x)的 与端点处的函数值 进行比较,其中最大的一个是 ,最小的一个是 . [微点助解] 函数最值与极值的区别与联系 (1)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,函数的极值可以有多个,但最值只能有一个. (2)极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值不在端点处取得时必定是极值. [基点训练] 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)闭区间上的连续函数一定有最值. ( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值. ( ) (3)极值只能在区间内取得,最值则可以在区间端点处取得. ( ) (4)函数的最大值一定是极大值,函数的最小值也一定是极小值. ( ) 2.函数f(x)=2x-cos x在(-∞,+∞)上 ( ) A.无最值 B.有极值 C.有最大值 D.有最小值 3.函数y=在[0,2]上的最大值为 . 题型(一) 函数最值的辨析 [例1] [多选]下列结论不正确的是 ( ) A.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极大值一定是[a,b]上的最大值 B.若f(x)在[a,b]上有极小值,则极小值一定是[a,b]上的最小值 C.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极小值一定是x=a和x=b时取得 D.若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值 听课记录: [思维建模] (1)正确理解极值与最值的关系是解题关键. (2)一般情况下,唯一的极值应该也是最值,在(a,b)内,若f(x0)为极小值,则其为最小值;若f(x0)为极大值,则其为最大值. [针对训练] 1.已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是 ( ) A.f(b)>f(a)>f(c) B.函数f(x)在x=c处取得最大值,在x=e处取得最小值 C.函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值 D.函数f(x)的最小值为f(d) 题型(二) 求函数的最值 [例2] 已知函数f(x)=x3-3x,x∈R. (1)求f(x)的单调区间; (2)当x∈[-,3]时,求f(x)的最大值与最小值. 听课记录: [思维建模] 求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性,确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值. [针对训练] 2.求下列函数的最值: (1)f(x)=; (2)f(x)=x2-x-ln x,x∈[1,3]. 题型(三) 由函数最值求参数的值或范围 [例3] (1)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则a= ( ) A.-2 B.-4 C.2 D.4 (2)函数f(x)=x3-x2在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-3,2) B.[-3,2) C.[-1,2) D.(-1,2) 听课记录: [思维建模] 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题. [针对训练] 3.已知h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k,2]上的最大值是28,求k的取值范围. 导数与函数的最值 课前环节 1.(1)连续不断 (2)极值点 区间端点 2.(1)极值 (2)各极值 f(a),f(b) 最大值 最小值 [基点训练] 1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 2.选A f'(x)=2+sin x>0恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值,也无最值. 3.解析:令y= ... ...
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