第2课时 导数与函数单调性的综合应用 (深化课题型研究式教学) 题型(一) 讨论含参函数的单调性 [例1] 讨论函数f(x)=x2-aln x(a≥0)的单调性. 听课记录: [变式拓展] 已知函数f(x)=x2-2x+aln x(a>0),求函数f(x)的单调递增区间. [思维建模] 在讨论含有参数的函数单调性时,若f'(x)中的参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类,分类的标准: (1)按导函数是否有零点分大类; (2)在大类中再按导数零点的大小分小类; (3)在小类中再按零点是否在定义域中分类. [针对训练] 1.已知函数f(x)=ax-(a+2)ln x--ln a(a>0),讨论函数f(x)的单调性. 题型(二) 根据函数的单调性求参数 [例2] 已知函数f(x)=ln x-ax2-2x(a≠0). (1)函数f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围; (2)若函数f(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围. 听课记录: [变式拓展] 1.本例条件不变,若f(x)在[1,4]上存在单调递增区间,求a的取值范围. 2.若本例条件不变,f(x)在[1,4]上单调递增,求a的取值范围. [思维建模] 1.已知f(x)在区间(a,b)内的单调性,求参数范围的方法 (1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应单调区间的子集; (2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立. 2.恒成立问题的重要思路 (1)m≥f(x)恒成立 m≥f(x)max; (2)m≤f(x)恒成立 m≤f(x)min. [针对训练] 2.若函数f(x)=2x2+ln x-ax在定义域上单调递增,求实数a的取值范围. 题型(三) 根据函数的单调性比较大小或解不等式 [例3] 已知函数f(x)=+ln x,则有 ( ) A.f(e)
f(b) B.f(a)=f(b) C.f(a)1 4.已知函数f(x)=x-sin x,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0的解集是 . 第2课时 导数与函数单调性的综合应用 [题型(一)] [例1] 解:函数f(x)的定义域是(0,+∞), f'(x)=2x-=(x>0), 设g(x)=2x2-a,由g(x)=0,得2x2=a. 当a=0时,f'(x)=2x>0,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 当a>0时,由g(x)=0,得x=或x=-(舍去). 当x∈时,g(x)<0,即f'(x)<0; 当x∈时,g(x)>0,即f'(x)>0. ∴当a>0时,函数f(x)在区间内单调递减,在区间上单调递增. 综上,当a=0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a>0时,函数f(x)在上单调递增,在内单调递减. [变式拓展] 解:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-2+=,x>0, 令h(x)=2x2-2x+a,注意到Δ=4(1-2a). ①当a≥时,Δ≤0,f'(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②当00,令f'(x)=0,得x1=>0,x2=>0, 令f'(x)>0, 解得x∈∪, 所以f(x)的单调递增区间为,. 综上,当a≥时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 当00, 令f'(x)=0,解得x1=1,x2=. ①当<1,即a>2时,若x∈∪(1,+∞),则f'(x)>0;若x∈,则f'(x)<0. ∴f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在内单调递减. ②当=1,即a=2时,f'(x)=≥0且f'(x)不恒等于0, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增. ③当>1,即00;若x∈,则f'(x)<0. ∴f(x)在(0,1),上单调递增, 在内单调递减. 综上所述,当a>2时,f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在内单调递减;当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当0