4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 (教学方式:深化学习课———梯度进阶式教学) [课时目标] 1.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义. 2.会利用任意角的正弦函数、余弦函数的定义求函数值. 1.利用单位圆定义任意角的正弦函数和余弦函数 如图,在直角坐标系中,给定任意角α,作单位圆,角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),把点P的纵坐标v叫作角α的 ,把点P的横坐标u叫作角α的 .对于α∈R,称v=sin α为任意角α的正弦函数,u= 为任意角α的余弦函数. 2.利用角的终边上的一点的坐标定义正弦函数、余弦函数 设角α终边上除原点外的一点Q(x,y),则sin α= ,cos α= ,其中r= . |微|点|助|解| (1)对任意一个给定的角α,它只有唯一的一条终边,从而终边与单位圆只有唯一的交点,所以它对应的正弦值和余弦值都是唯一确定的. (2)角的三角函数值与点在终边上的位置无关. (3)由三角函数的定义可知,任意给定角α,有sin2α+cos2α=1. 基础落实训练 1.若α的终边与x轴负半轴重合,则sin α= ,cos α= . 2.已知角α终边经过点P(5,0),则sin α= ,cos α= . 题型(一) 单位圆法求三角函数值 [例1] 在单位圆中,α=. (1)画出角α; (2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标; (3)求出角α的正弦函数值、余弦函数值. 听课记录: |思|维|建|模| 单位圆法求三角函数的值,先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值. [针对训练] 1.已知角α的终边经过点,则sin α= ,cos α= . 2.利用定义求的正弦函数值、余弦函数值. 题型(二) 已知角终边上的一点求值 [例2] (1)已知角θ的终边经过点P(1,-),则cos θ的值为 ( ) A.- B. C.- (2)若角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),则2sin α+cos α= . 听课记录: |思|维|建|模| 已知角的终边上一点求三角函数值的步骤 (1)取点:在角α的终边上任取一点P(x,y)(P与原点不重合); (2)计算r:r=|OP|=; (3)求值:由sin α=,cos α=求值. [针对训练] 3.(多选)角α的终边上一点的坐标为P(3,4),则下列结论正确的是 ( ) A.sin α= B.sin α= C.cos α= D.cos α= 4.已知角θ的终边经过点P(,a),若sin θ=-,则a= ( ) A. B. C.- D.- 题型(三) 已知角终边所在直线求值 [例3] 已知角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上,求sin α,cos α的值. 听课记录: [变式拓展] 1.(变条件)本例中条件“角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上”变为“角α的终边为射线y=-x(x≥0)”,求sin α,cos α的值. 2.(变条件)本例中条件“α的终边落在射线y=2x(x≥0)上”变为“α的终边落在直线y=2x上”,其他条件不变,其结论又如何呢 |思|维|建|模| 在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上异于原点的任意一点的坐标(a,b),则对应角的正、余弦函数值分别为sin α=,cos α= . [针对训练] 5.已知角α的终边在直线y=x上,求sin α. 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 课前预知教材 1.正弦值 余弦值 cos α 2. [基础落实训练] 1.0 -1 2.0 1 课堂题点研究 [题型(一)] [例1] 解:(1)因为α==2π+,所以角α的终边与角的终边相同.以原点为角的顶点, 以x轴非负半轴为角的始边,逆时针旋转,与单位圆交于点P,则角α如图所示. (2)由(1)知,点P在第二象限,且在角的终边上,所以点P的坐标为. (3)由(2)及正、余弦函数的定义可得sin=,cos=-. [针对训练] 1.解析:因为+=1,所以点在单位圆上,由三角函数的定义知sin α=-,cos α=-. 答案:- - 2.解:如图所示,的终边与单位圆的交点为P,过点P作PB⊥x轴于点B,在Rt△OBP中,|OP|=1,∠POB=,则|PB|=,|OB|=, ... ...
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