2.2 向量的减法(教学方式:深化学习课梯度进阶式教学) [课时目标] 1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量的减法运算. 2.理解平面向量减法的几何意义,掌握向量减法的三角形法则. 3.利用相反向量的概念,理解减法运算是加法运算的逆运算. 1.向量减法的定义及几何意义 定义 向量a减向量b等于向量a加上向量b的 ,即 几何意义 如图,给定向量a与b,作有向线段=a,=b,故-b=,则a-b=a+(-b) =+=+= ,即如果把向量a与b的起点放在点O,那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A,得到的向量就是 2.向量减法的性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量,于是-0=0. (2)互为相反向量的两个向量的和为0,即a+(-a)=(-a)+a=0. (3)若a+b=0,则a=-b,b=-a. |微|点|助|解| (1)向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,-=,就可以把减法转化为加法. (2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点. (3)向量减法满足三角形法则.如图,在用三角形法则作向量减法时,要注意“共起点,连终点,指向被减”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量. ( ) (2)=-. ( ) (3)a-b的相反向量是b-a. ( ) (4)|a-b|<|a+b|. ( ) 2.在△ABC中,=a,=b,则= ( ) A.|a+b| B.a-b C.b-a D.-a-b 3.在平行四边形ABCD中,-+= ( ) A. C. 题型(一) 向量减法法则的应用 [例1] (1)如图,已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d. (2)如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c. 听课记录: |思|维|建|模| 利用向量减法进行几何作图的方法 (1)已知向量a,b,如图①所示,作=a,=b,利用向量减法的三角形法则可得a-b,利用此方法作图时,把两个向量的起点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量. (2)利用相反向量作图,通过向量求和的平行四边形法则作出a-b.如图②所示,作=a,=b,=-b,则=a+(-b),即=a-b. [针对训练] 1.如图,已知正方形ABCD的边长等于1,=a,=b,=c,试作向量a-b+c. 题型(二) 向量的加、减运算 [例2] 化简下列各式: (1)(+)+(--); (2)--; (3)(-)-(-). 听课记录: |思|维|建|模| 化简向量的和差的方法 (1)如果式子中含有括号,括号里面能运算的直接运算,不能运算的去掉括号. (2)可以利用相反向量把差统一成和,再利用三角形法则进行化简. (3)化简向量的差时注意共起点,由减数向量的终点指向被减数向量的终点. 提醒:利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧. [针对训练] 2.在 ABCD中,设=a,=b,=c,=d,则下列等式不正确的是 ( ) A.a+b=c B.a-b=d C.b-a=d D.c-a=b 3.化简:(1)--++; (2)(++)-(--). 题型(三) 用已知向量表示未知向量 [例3] 如图,O是平行四边形ABCD的对角线AC,BD的交点,设=a,=b,=c,用a,b,c表示. 听课记录: |思|维|建|模| 用已知向量表示未知向量的基本步骤 第一步:观察各向量的位置; 第二步:寻找(或作)相应的平行四边形或三角形; 第三步:运用法则找关系; 第四步:化简结果. [针对训练] 4.如图所示,已知=a,=b,=c,=d,=e,=f,试用a,b,c,d,e,f表示,,-,+,-,++. 题型(四) 向量加减法的几何应用 [例4] 如图所示,在 ABCD中,=a,=b,用向量a,b表示,,并回答下面几个问题. (1)当a,b满足什么条件时,AC⊥BD (2)当 ABCD满足什么条件时,|a+b|=|a-b| 听课记录: [变式拓展] 若将例题中的条件变为“设平面内四边形ABCD及任一点O,=a,=b,=c,=d,若a+c=b+d且|a-b|=|a-d|”.试判断四边形ABCD的形状. |思|维|建|模| (1)以向量=a,=b为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线的向量为=a+b,=b-a. (2)在 OACB中,=a,=b. ①若|a|=|b|,则 OACB为菱形. ②若|a+b|=|a-b|,则 OACB为 ... ...
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