3.2 向量的数乘与向量共线的关系(教学方式:深化学习课梯度进阶式教学) [课时目标] 1.掌握共线(平行)向量基本定理及简单应用. 2.会应用共线(平行)向量基本定理证明两直线平行及三点共线问题. 1.共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b,则对于任意向量a,a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ,使 . 2.直线的向量表示 通常可以用=t表示过点A,B的直线l,其中 称为直线l的方向向量. |微|点|助|解| (1)对任意两个向量a,b,若存在不全为0的实数对(λ,μ),使λa+μb=0,则a与b共线.证明如下:若a,b中至少有一个为零向量,显然成立.若a,b均为非零向量,不妨设μ≠0,则b=-a,说明a与b共线. 但若向量a,b不共线,当λa+μb=0时,一定有λ=μ=0. (2)一般地,解决向量a,b共线问题,可用两个不共线向量(如e1,e2)表示向量a,b,设b=λa(a≠0),化成关于e1,e2的方程Φ(λ)e1+φ(λ)e2=0,由于e1,e2不共线,则解方程组即可. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a∥b,则存在λ∈R,使得b=λa. ( ) (2)若=3,则与共线. ( ) (3)一个点A和一个非零向量可以唯一确定过点A与向量平行的直线l. ( ) (4)若点P是AB的中点,点O为直线AB外一点,则=(+). ( ) 2.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若|a|=5,b与a的方向相反,且|b|=7,则a= b. 题型(一) 向量共线的判定 [例1] (多选)已知e1,e2为两个不共线的向量,则下列说法正确的是 ( ) A.若a=2e1,b=3e2,则a∥b B.若a=2e1+e2,b=-2e1-e2,则a∥b C.若a=2e1-3e2,b=-2e1-3e2,则a∥b D.若a=-2e1,b=3e1,则a∥b 听课记录: |思|维|建|模| 向量共线的判定一般是用其判定定理,即a是一个非零向量,若存在唯一一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.解题过程中,需要把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,由此判断共线. [针对训练] 1.(多选)向量a=2e,b=-6e,则下列说法正确的是 ( ) A.a∥b B.向量a,b方向相反 C.|a|=3|b| D.b=-3a 2.已知P,A,B,C是平面内四点,且++=,则下列向量一定共线的是 ( ) A.与与 C.与与 题型(二) 三点共线的判定与证明 [例2] (1)设e1,e2是两个不共线的向量,已知=e1+5e2,=-2e1+8e2,=3e1-3e2,则 ( ) A.A,B,C三点共线 B.B,C,D三点共线 C.A,B,D三点共线 D.A,C,D三点共线 (2)已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb(λ,μ∈R),那么A,B,C三点共线的充要条件为 ( ) A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1 听课记录: |思|维|建|模| 证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得=λ(或=λ等)即可. (2)利用结论:若A,B,C三点共线,O为直线外一点 存在实数x,y,使=x+y且x+y=1. [针对训练] 3.P是△ABC所在平面内一点,=λ+,则P点必在 ( ) A.△ABC内部 B.直线AC上 C.直线AB上 D.直线BC上 4.已知a,b是不共线的两非零向量,=2a-b,=3a+b,=a-3b,证明A,B,C三点共线. 题型(三) 利用向量共线求参数 [例3] (1)在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ= ( ) A. C.- D.- (2)已知非零向量e1,e2不共线,欲使-e1+ke2和-2e1+e2共线,则k的值为 . 听课记录: |思|维|建|模| 利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得a=λb(b≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值. [针对训练] 5.设e1,e2是两个不共线的单位向量,若=2e1-e2,=3e1+3e2,=e1+ke2,且A,C,D三点共线,则实数k的值为 . 6.设e1,e2是两个不共线向量,若向量ke1+2e2与8e1 ... ...
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