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课件网) 平面向量数量积及其运算性质的应用 (拓展融通课———习题讲评式教学) 5.1.2 课时目标 进一步掌握平面向量数量积的运算.能运用数量积的运算性质和运算律解决模、垂直、夹角问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一) 数量积的运算 题型(二) 向量的模 题型(三) 向量的夹角与垂直 4 课时跟踪检测 题型(一) 数量积的运算 01 [例1] (1)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·=( ) A. B.3 C.2 D.5 解析:由题意知,=+=+,=+=-+, 所以·= · =||2-||2=4-1=3,故选B. √ (2)(2021·新课标Ⅱ卷)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2, a·b+b·c+c·a= . 解析:法一:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0 2(a·b+b·c+c·a)+9=0 a·b+b·c+c·a=-. 法二:由a+b=-c a2+b2+2a·b=c2 a·b=-.由a+c=-b a2+c2+2a·c=b2 a·c=-. 由b+c=-a b2+c2+2b·c=a2 b·c=-.∴a·b+b·c+c·a=-. - |思|维|建|模| 求平面向量数量积的步骤 (1)求a与b的夹角θ,θ∈[0,π]; (2)分别求|a|和|b|; (3)求数量积,即a·b=|a||b|cos θ,要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,也不能省去. 1.如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=2,则·=( ) A.2 B.4 C.3 D. √ 针对训练 解析:根据向量的线性运算,结合平面向量数量积的定义可得·=(+)·=·+·,由AD⊥AB, 可知=0,又因为= ,||=2, 所以=·=||·||·cos∠ADB= ×2×||×=4.故选B. 2.(2022·全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b) ·b= . 解析:(2a+b) ·b=2a·b+b2=2|a|·|b|·cos
+|b|2=2×1×3× +32=11. 11 题型(二) 向量的模 02 [例2] 已知向量a与b夹角为45°,且|a|=1,|2a+b|=,求|b|. 解:因为|2a+b|=,所以(2a+b)2=10, 所以4a2+4a·b+b2=10. 又因为向量a与b的夹角为45°且|a|=1, 所以4×12+4×1×|b|×+|b|2=10, 整理得|b|2+2|b|-6=0, 解得|b|=或|b|=-3(舍去). |思|维|建|模| 求向量模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方. (2)a·a=a2=|a|2或|a|=,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化. (3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)= a2-b2等. 3.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足:|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|= ( ) A. B. C. D.1 解析:因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b2=2a·b,又因为|a|=1,|a+2b|=2,所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4,从而|b|=. √ 针对训练 4.已知向量a,b满足|a+b|=4,|a-b|=2,则|a||b|的最大值是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:∵|a+b|=4,|a-b|=2,∴|a+b|2+|a-b|2=2|a|2+2|b|2=20. ∴|a|2+|b|2=10.∵(a-b)2≥0,∴|a|2+|b|2≥2|a||b|. ∴|a||b|≤5.∴|a||b|的最大值为5,故选C. √ 题型(三) 向量的夹角与垂直 03 [例3] 已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b夹角的大小. 解:因为a,b都是非零向量,由a+3b与7a-5b垂直, 则(a+3b)· (7a-5b)=0, 即7a2+16a·b-15b2=0. ① 由a-4b与7a-2b垂直,则(a-4b)·(7a-2b)=0, 即7a2-30a·b+8b2=0. ② ①-②,得2a·b=b2=|b|2, ③ ③代入①,得|a|=|b|. 设a与b夹角为θ,则cos θ===, 因为θ∈[0,π],所以θ=.所以a与b的夹角为. |思|维|建|模| 1.求向量夹角的方法 (1)求出a·b,|a|,|b|,代入公式cos θ=求解. (2)用同一个量表示a·b,|a|,|b|,代入公式求解. (3)借助向量运算的几何意义,数形结合求夹角. 2.求向量夹角的注意点 要注意夹角θ的范围为[0,π].当cos θ>0时,θ∈; 当cos θ<0时,θ∈;当cos θ=0时,θ=. 5.若e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=2e1+e2与b ... ... 