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课件网) 正弦定理 (深化学习课———梯度进阶式教学) 6.1.2 课时目标 1.了解正弦定理的推导过程,掌握正弦定理的内容及公式变形. 2.能利用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.正弦定理 (1)语言叙述:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比 . (2)公式表达: . (3)正弦定理的推广 设R为△ABC外接圆的半径,则 =2R. 相等 == == 2.正弦定理的变形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(边化角). (2)sin A=,sin B=,sin C=(角化边). (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C(边角互化). (4)===. |微|点|助|解| (1)如已知两边a,b和a的对角A,解的情况如下表: A> A= A< a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 a
bsin A 两解 a=bsin A 一解 asin B a>b. (3)记牢15°,75°的正弦值: sin 15°=,sin 75°=. 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正弦定理仅适用于非直角三角形. ( ) (2)在△ABC中,若c2>a2+b2,则△ABC为钝角三角形. ( ) (3)在△ABC中,若已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角的类型问题,则求解时都只有一个解. ( ) 基础落实训练 × √ √ 2.在△ABC中,A=60°,BC=,则△ABC外接圆的半径为( ) A. B.1 C.2 D.3 解析:设R为△ABC外接圆的半径,则由正弦定理,得2R===2, 解得R=1.所以△ABC外接圆的半径为1. √ 3.在△ABC中,A=45°,c=2,则AC边上的高等于 . 解析:AC边上的高为ABsin A=csin A=2sin 45°=. 4.在锐角三角形ABC中,角A,B所对的边分别为a,b,若2asin B=b, 则A= . 解析:在△ABC中,利用正弦定理得2sin Asin B=sin B, ∵sin B≠0,∴sin A=.又A为锐角,∴A=. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一) 已知两角及任意一边解三角形 [例1] (1)在△ABC中,若A=,B=,a=2,则b=( ) A.2 B.3 C.2 D.3 解析:由正弦定理=,得=,解得b=3. √ (2)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b= . 解析: A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°. 由正弦定理=,得b===4. 4 |思|维|建|模| 已知两角和任意一边,解三角形的步骤 (1)求角:根据三角形内角和定理求出第三个角; (2)求边:根据正弦定理,求另外的两边. 针对训练 1.一个三角形的两个角分别等于120°和45°,若45°角所对的边长是4,那么120°角所对边长是( ) A.4 B.12 C.4 D.12 解析:若设120°角所对的边长为x,则由正弦定理可得=, 于是x===12,故选D. √ 2.在△ABC中,若B=135°,C=15°,a=5,则此三角形的最大边长为 ( ) A.5 B.4 C.5 D.4 解析:根据题意得A=180°-135°-15°=30°,则此三角形的最大边是b,由正弦定理=,得b===5. √ 题型(二) 已知两边和其中一边的对角解三角形 [例2] 已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答. (1)a=10,b=20,A=80°; 解:∵b=20,A=80°,∴bsin A=20sin 80°>20sin 60°=10. 又a=10,∴a