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课件网) 用余弦定理、正弦定理解三角形 (拓展融通课———习题讲评式教学) 6.1.3 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一) 测量距离问题 题型(二) 测量高度问题 题型(三) 测量角度问题 4 课时跟踪检测 题型(一) 测量距离问题 01 [例1] 如图是隋唐天坛,古叫圜丘,它位于唐长安城明 德门遗址东约950米,即今西安市雁塔区陕西师范大学 以南.天坛初建于隋而废弃于唐末,比北京明清天坛早 1 000多年,是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径,在天坛外围测得AB=60米,BC=60米,CD=40米,∠ABC=60°, ∠BCD=120°,据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)(参考数据:≈1.414,≈1.732,≈2.236,≈2.646)( ) A.39米 B.43米 C.49米 D.53米 √ 解析:在△ACB中,AB=60,BC=60,∠ABC=60°,所以AC=60.在△CDA中, AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos 60°=602+402-2×60×40×=2 800, 所以AD=20≈53(米). |思|维|建|模| 距离问题的类型及解法 (1)类型:两点间既不可达也不可视,两点间可视但不可达,两点都不可达. (2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解. 1.A,B两地之间隔着一个山岗,如图,现选择另一点C,测得CA=7 km, CB=5 km,C=60°,则A,B两点之间的距离为 km. 解析:由余弦定理,得AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C=72+52-2× 7×5×=39.所以AB=. 针对训练 2.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC约等于 m. (用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67° ≈ 0.92, cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80, ≈ 1.73) 60 解析:过点A作AD垂直于CB的延长线,垂足为D(图略),则在Rt△ADB中,∠ABD=67°,AD=46,则AB=.在△ABC中,根据正弦定理得BC==46× ≈60(m). 题型(二) 测量高度问题 02 [例2] 某气象仪器研究所按以下方案测试一种 “弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度,如图, 在C处进行该仪器的弹射,观测点A,B两地相距 100 m,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比 B地晚 s.A地测得该仪器在C处时的俯角为15°,A地测得该仪器在最高点H时的仰角为30°,求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s) 解:设AC=x m,则BC=x-×340=(x-40)m. 在△ABC中,根据余弦定理得(x-40)2=10 000+x2-100x,解得x=420. 在△ACH中,AC=420 m,∠CAH=30°+15°=45°, ∠AHC=90°-30°=60°. 由正弦定理得=, 得CH=AC·=140(m). 故该仪器的垂直弹射高度CH为140 m. |思|维|建|模| 解决测量高度问题的一般步骤 (1)画图:根据已知条件画出示意图; (2)分析三角形:分析与问题有关的三角形; (3)求解:运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解. 在解题中,要综合运用几何知识与方程思想. 3.如图,在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与 塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高为 ( ) A. m B. m C. m D. m √ 针对训练 解析:设山顶为A,塔底为C,塔顶为D,过点A作CD的垂线,交CD的延长线于点B(图略),则易得AB=,BD=AB·tan 30°=·tan 30° =×=(m),所以CD=BC-BD=200-=(m). 题型(三) 测量角度问题 03 [例3] 已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3海里的B处有 一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度 向岛屿北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大 速度行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船 解:如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x海里,则BC=0.5x,AC=5,依题意,∠BAC=180°-38°-22° =120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°=49, 所以BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC== ... ...
