第六章 6.3　球的表面积和体积（课件 学案 练习）高中数学北师大版（2019）必修 第二册

6.3　球的表面积和体积(教学方式:拓展融通课———习题讲评式教学) [课时目标]　1.理解球的大、小圆,直线与球相切的意义. 2.掌握球的表面积与体积公式,并能解决与球有关的组合体的相关计算问题. 1.球的截面 球面被经过球心的平面截得的圆称为球的　　　　　　,被不经过球心的平面截得的圆称为球的　　　　　. 2.球的切线 (1)当直线与球有　　　　　时,称直线与球相切,这一交点称为直线与球的　　　. (2)过球外一点的所有切线的切线长都　　　,这些切点的集合是一个　　　,该圆面及所有切线围成了一个　　　. 3.球的表面积和体积 S球面=　　　,V球=　　　　　(其中R为球的半径). 题型(一)　球的截面 1.球的截面形状 (1)当截面过球心时,截面的半径即球的半径,此时球的截面就是球的大圆; (2)当截面不过球心时,截面的半径小于球的半径,此时球的截面就是球的小圆. 2.球的截面的性质 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面. (2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式:d=. 图形解释如下: 在球的轴截面图中,截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R,以O'为圆心的截面的半径为r,OO'=d.则在Rt△OO'C中,有OC2=O'C2+OO'2,即R2=r2+d2. [例1]　(1)某同学在参加《通用技术》实践课时,制作了一个工艺品,如图所示,该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),若其中一个截面圆的周长为2π,则该球的表面积为 (　 ) A.20π B.16π C.12 D.8 (2)如图,A,B,C是球面上三点,已知弦AB=18 cm,BC=24 cm,AC=30 cm,平面ABC与球心O的距离恰好为球半径的一半,则球的表面积为　　　cm2. 听课记录: [例2]　在球内有相距9 cm的两个平行截面面积分别为49π cm2和400π cm2,求此球的表面积. 听课记录: |思|维|建|模| 空间向平面的转化 (1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题. (2)球到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r满足关系式r=. 利用球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题平面化的主要途径. 　　[针对训练] 1.过球的半径的中点,作一垂直于这条半径的截面,截面面积是48π cm2,求球的表面积. 题型(二)　与球有关的简单组合体 题点(一)　球与正(长)方体的切接问题 　　处理与球有关的相接、相切问题时,关键是根据“接点”和“切点”作一适当的截面,将空间问题转化为平面问题. (1)球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径. (2)球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径. [例3]　有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体的各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比. 听课记录: 题点(二)　球与其他多面体的切接问题 　　特殊多面体的内切球或外接球问题,要注意球心的位置与几何体的关系.一般情况下,由于球的对称性,球心总在特殊位置,比如几何体的中心,对角线的中点等,还需熟记棱长为a的正四面体的外接球的半径R=a,内切球的半径r=. [例4]　设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点在一个球面上,则该球的表面积为 (　 ) A.πa2 B.πa2　 C.πa2　 D.5πa2 听课记录: 题点(三)　球与旋转体的切接问题 　　球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径. [例5]　(1)若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r,R,则球的表面积为 (　 ) A.4π(r+R)2 B.4πr2R2 C.4πRr D.π(R+r)2 (2)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是　　　　. 听课记录: |思|维|建|模| 求空间多面体的外接球半径的常用方法 (1)补形 ... ...