第02讲 8.2 一元线性回归模型及其应用 （8.2.1一元线性回归模型+8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘法估计） 课程标准 学习目标 ①了解一元线性回归模型的含义，理解两 个变量之间随机关系的一元线性回归模型的作用与意义。 ②了解残差在线性回归与非线性回归问 题的作用及意义。 ③了解一元线性回归模型参数与最小二 乘估计的推导过程，理解最小二乘估计的原理。 ④会结合题意求一元线性回归方程。 ⑤会用相关指数进行分析模型拟合的效 果情况.。 通过本节课的学习，要求会求一元线性回归方程，会进行残差分析，能判断回归模型的拟合效果，能利用样本数据建立统计模型并能进行预测 知识点1：一元线性回归模型 （1）一元线性回归模型 我们称 为关于的一元线性回归模型，其中称为因变量或响应变量，称为自变量或解释变量；和为模型的未知参数，称为截距参数，称为斜率参数；是与之间的随机误差. （2）随机误差 在线性回归模型中，和为模型的未知参数，是与之间的误差,通常为随机变量，称为随机误差.它的均值，方程. 线性回归模型的完整表达式为 , 在此模型中，随机误差的方差越小，用预报真实值的精度越高. 知识点2：一元线性回归模型参数的最小二乘法 （1）经验回归方程的求解法：最小二乘法 回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征； 我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线。这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做，的最小二乘估计,其中称为回归系数，它实际上也就是经验回归直线的斜率，为截距. 其中 【即学即练1】（2024上·全国·高三专题练习）某校数学建模学生社团进行了一项实验研究，采集了的一组数据如下表所示： 2 3 4 5 6 7 52.5 45 40 30 25 17.5 该社团对上述数据进行了分析，发现与之间具有线性相关关系． (1)画出表中数据的散点图，并指出与之间的相关系数是正还是负； (2)求出关于的线性回归方程，并写出当时，预测数据的值． 附：在线性回归方程中，，其中为样本平均值． 【答案】(1)散点图见解析，负 (2)， 【详解】（1）由题意得散点图如图所示： 由图可知与之间成负相关关系，所以是负． （2）因为，， ，， 所以，， ∴关于线性回归方程为， 所以当时，． （2）求经验回归方程的步骤 ①作出散点图，判断两变量是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，则可求其经验回归方程； ②列表求出,的值； ③利用公式先计算,再根据经验回归直线过样本点的中心计算； ④写出经验回归方程. 求经验回归方程，关键在于正确求出系数,,由于计算量较大，所以计算时要仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生错误要特别注意，只有两个变量呈线性相关关系时，求出的经验回归方程才有意义. （3）经验回归方程的性质 ①经验回归直线一定过点,点通常称为样本点的中心； ②一次函数的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是；函数递减的充要条件是.这说明：与正相关的充要条件是；与负相关的充要条件是. ③在经验回归方程中，是经验回归直线的斜率，是截距.一般地，当回归系数时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是当每增大一个单位时，平均增大个单位；当时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是当每增大一个单位时，平均减小个单位. 知识点3：残差 （1）残差 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差. （2）残差图 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好. （3）残差分析 残差是随机误差的估计结果，通过残差的分 ... ...
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