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课件网) 第28章 锐角三角函数 28.2.1 解直角三角形 授课： 时间： 问题思考 A B C a b c 如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°. (1)直角三角形中, 除直角外的五个元素之间有怎样的关系 三边之间的关系(勾股定理): 两锐角之间的关系: 边角之间的关系(锐角三角函数): sin A ＝ ; cos A ＝ ; tan A ＝ . a2＋b2＝c2 ∠A＋∠B＝90° 问题思考 A B C a b c 如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°. (2)知道五个元素中的几个, 就可以求其他元素 已知1个条件： 已知2个条件： ①已知1个角; ②已知1条边; ③已知2个角; ④已知2条边; ⑤已知1角1边. 归纳总结 一般地, 在直角三角形中, 除直角外, 共有五个元素, 即三条边和两个锐角. 由直角三角形中的已知元素, 求出其余未知元素的过程, 叫作解直角三角形. 解直角三角形的概念: 在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素(其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素. 直角三角形中的边角关系： 三边之间的关系(勾股定理): 两锐角之间的关系: 边角之间的关系(锐角三角函数): sin A ＝ ; cos A ＝ ; tan A ＝ . a2＋b2＝c2 ; ∠A＋∠B＝90°; 典例精析 例1.如图, 在Rt△ABC中, ∠C ＝ 90°, ＝, ＝, 解这个直角三角形. A B C 要解这个直角三角形, 还需要求解哪些元素 边: AB; 角:∠A,∠B. 解: ∵ tan A ＝ ＝ ＝ , ∴∠A＝60°, ∠B＝90°－60°＝30°, AB＝2AC＝2. 还有其它的解法吗？ 小试锋芒 练习1.在Rt△ABC, ∠C＝90°, ∠A＝45°, AB＝4, 解这个直角三角形. A B C 答案: ∠B＝45°, AC＝BC＝2. 比萨斜塔 比萨斜塔, 位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场比萨大教堂的后面. 建造于1173年8月, 是意大利比萨城大教堂的独立式钟楼. 比萨斜塔外墙面均为乳白色大理石砌成, 各自相对独立但又形成统一罗马式建筑风格. 意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜, 其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1m. 1972年比萨地区发生地震, 这座高54.5m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立, 但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2m, 而且还在继续倾斜, 有倒塌的危险. 当地从1990年起对斜塔维修纠偏, 2001年竣工, 此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm. 典例精析 A B C 例2.1972年的情形: 如图, 设塔顶中心点为B, 塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A, 过点B向垂直中心线引垂线, 垂足为点C. 在Rt△ABC中, ∠C＝90°, BC＝5.2m, AB＝54.5m. (1) 如何解直角三角形 解: ∵ sin A ＝ ＝ ≈ 0.0954, ∴∠A ≈ 5.48°, ∠B ＝ 90°－5.48°＝84.52°, AC ＝ ≈ 54.25. (2) 2001年纠偏43.8cm后, 求∠A的度数. 典例精析 A B C 例2.1972年的情形: 如图, 设塔顶中心点为B, 塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A, 过点B向垂直中心线引垂线, 垂足为点C. 在Rt△ABC中, ∠C＝90°, BC＝5.2m, AB＝54.5m. (2) 2001年纠偏43.8cm后, 求∠A的度数. 解: BC＝5.2－0.438＝4.762m, ∴∠A ≈ 5.01°. 在解直角三角形时, 估算存在误差, 尽量使用原始数据计算. ∵ sin A ＝ ＝ ≈ 0.0874, 小试锋芒 练习2. 如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∠B＝35°, b＝20, 解这个直角三角形(资料: sin 35°≈0.57, cos 35°≈0.82, tan 35°≈0.70, 结果保留小数点后一位). A B C a b c 解: ∠A＝90°－35°＝55°, ∴ c ＝ ≈ 35.1, ∵ sin B ＝ ≈ 0.57, b ＝ ≈ 28.6. tan B ＝ ≈ 0.70, 典例精析 例3.如图, 在△ABC中, ∠B为锐角, AB＝4, AC＝5, sin C＝ . D 如何求BC的长 解: 过点A作AD⊥BC于点D. ∵sin C ＝ ＝ , ∴AD ＝ 5 × ＝ 3. 在Rt△ABD中, CD＝, 在Rt△ABD中, BD＝ , ∴BC ＝ ＋ 4. 小试锋芒 练习3.在△ABC中, ∠B＝30°, ∠C＝45°, AC＝2, 则BC＝_____. 练习 ... ...
