7.3.1 离散型随机变量的均值(强基课梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解离散型随机变量的均值的概念和意义,会根据离散型随机变量的分布列求出均值. 2.掌握离散型随机变量的均值的性质和两点分布的均值. 3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平,解决一些相关的实际问题. 1.离散型随机变量的均值 (1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列如表所示, X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)= =xipi为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称 . (2)意义:均值是随机变量可能取值关于取值概率的 ,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的 . (3)性质:若X是离散型随机变量,则:①E(X+b)= ;②E(aX)= ; ③E(aX+b)= . 2.两点分布的均值 一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)= . 微点助解 理解均值要注意三点 (1)离散型随机变量的均值是算术平均数概念的推广，是概率意义下的平均，由于离散型随机变量的所有取值的概率满足pi=1，所以均值是以概率pi为权数的加权平均数. (2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量，可以取不同的值，但E(X)是X的一个特征数，它是不变的，它描述X取值的平均水平. (3)E(X)与随机变量X本身具有相同的单位. [基点训练] 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量,其随X的变化而变化. ( ) (2)随机变量的均值反映样本的平均水平. ( ) (3)若随机变量X的数学期望E(X)=2,则E(2X)=4. ( ) (4)随机变量X的均值E(X)=. ( ) 2.已知随机变量X服从两点分布,且E(X)=0.7,则其成功的概率为 ( ) A.0 B.1 C.0.3 D.0.7 3.已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的均值E(X)= ( ) A. B.2 C. D.3 题型(一) 求离散型随机变量的均值 [例1] 某同学参加射击比赛, 每人配发3颗子弹. 射击靶由内环和外环组成, 若击中内环得8分,击中外环得4分,脱靶得0分. 该同学每次射击,脱靶的概率为 ,击中内环的概率为,击中外环的概率为,每次射击结果相互独立.只有前一发中靶,才能继续射击,否则结束比赛. (1)若已知该同学得分为8分的情况下, 求该同学只射击了2发子弹的概率; (2)设该同学最终得分为X,求X的分布列和数学期望E(X) . 听课记录: [思维建模] 求离散型随机变量X的均值的步骤 (1)理解X的意义,写出X的所有可能取值; (2)求X取每个值时的概率; (3)写出X的分布列; (4)由均值的定义求E(X). [针对训练] 1.从装有2个红球,2个白球和1个黑球的袋中随机逐一取球,已知每个球被取到的可能性相同.若取后不放回,设取完红球所需的次数为X,求X的分布列及均值. 题型(二) 离散型随机变量均值的性质 [例2] 已知随机变量ξ和η,其中η=10ξ+2,且E(η)=20,若ξ的分布列如下表,则m的值为 ( ) ξ 1 2 3 4 P m n A. B. C. D. 听课记录: [思维建模] 利用离散型随机变量均值性质解决问题的思路 若给出的随机变量ξ与X之间的关系为ξ=aX+b,a,b为常数.一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列,由X的取值计算ξ的取值,对应的概率相等,再由定义法求得E(ξ). [针对训练] 2.[多选]已知随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则下列结论正确的是 ( ) X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.a=7 B.b=0.4 C.E(aX)=44.1 D.E(bX+a)=2.62 3.元宵节庙会上有一种摸球游戏:布袋中有15个大小和形状均相同的小球,其中白球10个,红球5个,每次摸出2个球.若摸出的红球个数为X,则E(5X-5)= ( ) A.- B. C.- D. 题型(三) 离散型随机变量均值的应用 [例3] 某商场回馈消费者, ... ...
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