7.4.2 超几何分布(强基课梯度进阶式教学) 课时目标 1.通过具体实例,了解超几何分布及其均值. 2.能用超几何分布解决简单的实际问题. 1.超几何分布的概念 一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)= ,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布. 微点助解 (1)在超几何分布的模型中,“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件,连续取n件”. (2)超几何分布的特点:①不放回抽样;②考察对象分两类;③实质是古典概型. 2.超几何分布的均值 一般地,当随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布时,其均值为E(X)=. [基点训练] 1.[多选]下列随机变量中,服从超几何分布的有 ( ) A.在10件产品中有3件次品,一件一件地不放回地任意取出4件,记取到的次品数为X B.从3台甲型冰箱和2台乙型冰箱中任取2台,记X表示所取的2台冰箱中甲型冰箱的台数 C.一名学生骑自行车上学,途中有6个交通岗,记此学生遇到红灯的个数为随机变量X D.从10名男生、5名女生中选3人参加植树活动,其中男生人数记为X 2.已知8名学生中有5名男生,从中选出4名代表,记选出的代表中男生人数为X,则P(X=3)= ( ) A. B. C. D.1 3.设50个产品中有10个次品,任取产品20个,取到的次品可能有X个,则E(X)= ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 4.袋中有3个红球,7个白球,这些球除颜色不同外其余完全相同,从中无放回地任取5个,取出几个红球就得几分,则平均得 分. 题型(一) 超几何分布的概念 [例1] [多选]下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是 ( ) A.将一枚硬币连抛3次,正面向上的次数X B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部,选出女生的人数为X C.某射手的命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中目标的次数为X D.盒中有4个白球和3个黑球,每次从中摸出1球且不放回,X是首次摸出黑球时的总次数 听课记录: [思维建模] 判断一个随机变量是否服从超几何分布,应看三点 (1)总体是否可分为两类明确的对象(多类对象可转化为两类对象). (2)是否为不放回抽样. (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. [针对训练] 1.[多选]下列随机变量中,服从超几何分布的有 ( ) A.抛掷三枚骰子,向上的点数是6的骰子的个数X B.有一批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽试验,试验中发芽的种子的个数X C.盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球,任取3个球,不是红球的个数X D.某班级有男生25人,女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动,其中女生的人数X 题型(二) 超几何分布的概率 [例2] 某校高一、高二的学生组队参加辩论赛,高一推荐了3名男生、2名女生,高二推荐了3名男生、4名女生.推荐的学生一起参加集训,最终从参加集训的男生中随机抽取3人,女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求高一至少有1名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列. 听课记录: [思维建模] (1)在产品抽样检验中,如果采用的是不放回抽样,则抽到的次品数服从超几何分布. (2)如果随机变量X服从超几何分布,只需代入公式即可求得相应概率,关键是明确随机变量X的所有取值. [针对训练] 2.老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背诵其中的6篇,求: (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列; (2)他能及格的概率. 题型(三) 超几何分布的实际应用 [例3] 某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个, ... ...
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