2.1.3 方程组的解集 学习目标 1.会用代入法解二元一次方程组和三元一次方程组.2.掌握二元二次方程组的解法.3.能够根据具体的数量关系，列出一次方程组解决简单的实际问题. 导语 我国古代数学著作《张丘建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？”如果设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，且x，y，z为自然数，则当z=81时，我们如何求x，y的值呢？这节课我们一起研究方程组的解集问题. 一、一次方程组的解集 问题1 如果有一方程组为 那么适合方程①吗？适合方程②吗？ 提示 均适合，并且{(x，y)|x=8，y=11}为两方程解集的交集. 问题2 如何求方程组的解集呢？三元一次方程组呢？ 提示 可以通过消元法求解.三元一次方程组也可以通过消元法求解. 知识梳理 方程组的解集的概念 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，每个方程的解集的交集称为这个方程组的解集 方程组的解集的解法 求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是消元法 注意点： (1)消元法包括加减消元法和代入消元法. (2)解多元方程组关键是“消元”，解高次方程组关键是“降次”. (3)当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素.此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来. 例1 求下列方程组的解集： (1) (2) 解 (1)已知 由①得x=2y+1，③ 把③代入②，得2y+1+3y=6， 解得y=1.把y=1代入③得x=3， 所以原方程组的解为 所以原方程组的解集为{(3，1)}. (2)已知方程组 ①+②，得5x-z=14. ①+③，得4x+3z=15. 解方程组得 把x=3，z=1代入③，得y=8. 所以原方程组的解集为{(3，8，1)}. 反思感悟 (1)解方程组的最主要方法是代入消元法和加减消元法. (2)解三元一次方程组在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去可以使计算量相对较小的未知数；消去的未知数一定是同一未知数. 跟踪训练1 求方程组的解集. 解 已知方程组 ①-②×2，得5y-3z=8，④ ③-②，得3y-3z=6，⑤ 由④⑤组成二元一次方程组 解这个二元一次方程组，得 把y=1，z=-1代入②，得x=2， 所以原方程组的解集为{(2，1，-1)}. 二、二元二次方程组的解集 角度1———二·一”型的二元二次方程组 例2 (课本例1)求方程组的解集. 解 将②代入①，整理得x2+x-2=0， 解得x=1或x=-2. 利用②可知，x=1时，y=2；x=-2时，y=-1. 所以原方程组的解集为{(1，2)，(-2，-1)}. 例2 解方程组 解 已知方程组 方法一 由②得x=2y+5，③ 将③代入①，得(2y+5)2+2y(2y+5)+y2=4. 整理，得3y2+10y+7=0.解得y1=-y2=-1. 把y1=-代入③，得x1= 把y2=-1代入③，得x2=3. 所以原方程组的解是或 所以原方程组的解集为. 方法二 由①得(x+y)2=4， 即x+y=2或x+y=-2. 原方程组转化为或 解得或 所以原方程组的解集为. 反思感悟 这种类型的方程组主要的方法是代入消元法，转化为一个一元二次方程，之后再“回代”.如果能分解成两个二元一次方程，就可以分别联立成二元一次方程组再解. 跟踪训练2 解方程组 解 已知 由方程②，得y=1-x，③ 把方程③代入方程①，得x2+(1-x)2=1. 整理，得x2-x=0.解得x1=0，x2=1. 把x1=0代入方程③，得y1=1； 把x2=1代入方程③，得y2=0. 原方程组的解是或 即其解集为{(0，1)，(1，0)}. 角度2———二·二”型的二元二次方程组 例3 (课本例2)求方程组的解集. 解 由①-②，整理得x+2y-3=0.③ 由③解得x=3-2y.代入①，并整理，得 5y2-12y+7=0，解得y=1或y=. 利用③可知，y=1时，x=1；y=时，x=. 因此，原方程组的解集为. 例3 求方程组的解集. 解 已知方程组 由①得x2-y2-5(x+y)=0 (x+y)(x-y)-5(x+y)=0 ( ... ...
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