第11章 板块综合　解三角形及其应用（课件 学案 练习）高中数学苏教版（2019）必修 第二册

板块综合　解三角形及其应用(阶段小结课———习题讲评式教学) [建构知识体系] [融通学科素养] 1.浸润的核心素养 正、余弦定理在实际应用中的考查在高考中体现的特别明显,正符合了数学建模的核心素养;解决此类问题的关键是能作出示意图,故涉及直观想象的核心素养. 2.渗透的数学思想 (1)在应用正弦定理或余弦定理解决实际问题时往往需要根据题意正确地画出图形,根据图形运算求解体现了数形结合的思想. (2)用向量法推导正弦定理时,可以通过对锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情形的分别讨论而获得,用正、余弦定理求解的斜三角形分为四种类型以及对“已知两边和其中一边对角的三角形”型的解的情况的分析判断等都体现了分类讨论思想. (3)在求解三角形中的边角问题时,用到函数与方程思想.　 题型(一)　与三角形面积有关的最值、范围问题 [例1]　已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=sin A+. (1)求角A的大小; (2)若a=2,求△ABC面积的最大值以及周长的最大值. 听课记录: |思|维|建|模|　求解与三角形面积有关问题的步骤 　　[针对训练] 1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c-b=acos B-bcos A. (1)求A; (2)若△ABC是锐角三角形,且a=4,求△ABC面积的取值范围. 2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin=bsin A. (1)求B; (2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围. 题型(二)　解三角形与平面几何相结合 [例2]　如图,四边形ABCD的内角B+D=π,AB=6,DA=2,BC=CD,且AC=2. (1)求B; (2)若点P是线段AB上的一点,PC=2,求PA的值. 听课记录: 　　|思|维|建|模| 多个三角形背景解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解. (2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果.解题时,有时要用到平面几何中的一些知识点, 如相似三角形的边角关系、平行四边形的性质,要把这些知识与正弦、余弦定理有机结合,才能顺利解决问题. 　　[针对训练] 3.如图,D是直角三角形ABC斜边BC上一点,AC=DC. (1)若∠DAC=30°,求∠ADC的大小; (2)若BD=2DC,且DC=1,求AD的长. 题型(三)　解三角形与三角恒等变换相结合 [例3]　(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B. (1)求sin A; (2)设AB=5,求AB边上的高. 听课记录: 　　|思|维|建|模| 正、余弦定理常与三角恒等变换综合考查,解题时常利用恒等变换得出内角关系式求出内角,再利用正、余弦定理求解. 　　[针对训练] 4.(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=2. (1)求bc; (2)若-=1,求△ABC面积. 板块综合　解三角形及其应用 [例1]　 解:(1)依题意=sin A+,得sin2B+sin2C=sin2 A+sin Bsin C, 由正弦定理,得b2+c2=a2+bc, 所以cos A==. 因为A∈(0,π),所以A=. (2)由a2=b2+c2-2bccos A,得12=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,即bc≤12, 当且仅当b=c=2时,等号成立,所以△ABC的面积S=bcsin A=bc≤3,所以△ABC面积的最大值为3.又12=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-=,所以b+c≤4,当且仅当b=c=2时,等号成立,故△ABC的周长L=a+b+c≤6,所以△ABC周长的最大值为6. 故△ABC面积的最大值为3,周长的最大值为6. [针对训练] 1. 解:(1)法一　因为c-b=acos B-bcos A, 所以sin C-sin B=sin Acos B-sin Bcos A,则sin(A+B)-sin B=sin Acos B-sin Bcos A, 即2sin Bcos A=sin B.因为sin B≠0,所以cos A=,因为A∈(0,π),所以A=. 法二　由余弦定理cos B=,cos A=,得c-b=a·-b·,整理得b2+c2-a2=bc.所以cos A==.因为A∈(0,π)所以A=. (2)因为==,所以c=,b=.所以S△ABC=bcsin A==sin Bsin C=sin Bsin(A+B) =sin Bsin =sin B=sin 2B+8sin Bcos B =-cos 2B+4sin 2B=sin+. 因为△ABC为锐角三角形, 所以解得