第2课时 抛物线的焦点弦结论的应用 [教学方式:拓展融通课———习题讲评式教学] 如图,AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),相应的准线为l. (1)x1x2=,y1y2=-p2; (2)以弦AB为直径的圆与准线相切; (3)AB=x1+x2+p=2==2p(α是直线AB的倾斜角,α≠0°); (4)+=为定值(F是抛物线的焦点). (一) AB=x1+x2+p==2p的应用 [例1] 过点M(1,0)作直线l与抛物线y2=4x交于A,B两点,当直线l的斜率为1时,AB= . 听课记录: |反|思|领|悟| 在求解焦点弦长时,有多种公式可以运用,在选择、填空题的求解中可以灵活选择,从而实现快速求解. [针对训练] 1.过抛物线C:y2=12x的焦点作直线l交C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若A,B中点为M(x0,y0),AB=18,则x0= ( ) A.4 B.6 C.8 D.10 2.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,则抛物线的方程为 . (二) x1x2=,y1y2=-p2的应用 [例2] 已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,若·=-12,则抛物线C的方程为 ( ) A.x2=8y B.x2=4y C.y2=8x D.y2=4x 听课记录: |反|思|领|悟| (1)在涉及一些求斜率之积或者数量积的问题时,往往需要x1x2或y1y2,通过抛物线特殊性质的记忆,可以避免联立方程组,从而快速求解. (2)x1x2=,y1y2=-p2适用于y2=±2px,而在x2=±2py中,x1x2=-p2,y1y2=. [针对训练] 3.已知抛物线x2=-8y的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,则k1k2= ( ) A.4 B.-4 C. D.- (三) +=的应用 [例3] 如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且AF=4,则线段AB的长为 ( ) A.5 B.6 C. D. 听课记录: |反|思|领|悟| 焦半径公式AF=xA+=,BF=xB+=(AF,BF分别为上方、下方焦半径,θ为直线的倾斜角). [针对训练] 4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A,B两点,且AF>BF,则的值为 ( ) A.3 B.2 C. D. 5.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P,Q两点,则+的值为 . 第2课时 抛物线的焦点弦结论的应用 (一) [例1] 解析：直线l为y＝x－1， 由得x2－6x＋1＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝6，∴AB＝x1＋x2＋p＝8. 答案：8 [针对训练] 1．选B 由AB＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋6＝18，∴x1＋x2＝12，∴x0＝6. 2．解析：依题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋.设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝，∴＝8，∴p＝2，故所求的抛物线方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.综上，抛物线方程为y2＝±4x. 答案：y2＝±4x (二) [例2] 选C 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，直线AB的方程为x＝my＋， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x2＝，y1y2＝－p2，得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x. [针对训练] 3．选D 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1k2＝·＝＝＝－. (三) [例3] 选C 如图，过点A作AD⊥l，AD＝AF＝AC＝4，则∠ACD＝30°，∠AFx＝60°，则p＋2＝4，所以p＝2，因为＋＝，AF＝4，所以BF＝，所以AB＝AF＋BF＝4＋＝. [针对训练] 4．选A 由抛物线的性质可知，AF＋BF＝AB＝＝①， ＋＝②， 由①②解得AF＝2p，BF＝p，∴＝3. 5．解析：由抛物线焦点弦的性质得＋＝＝＝1. 答案：1 1 / 3(
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