9.1.2 线性回归方程(强基课———梯度进阶式教学) 课时目标 1.结合具体实例,了解线性回归模型的含义,了解模型参数的统计意义,了解最小二乘原理,掌握线性回归模型参数的最小二乘法. 2.针对实际问题,会用线性回归模型进行预测. 1.随机误差 具有线性相关关系的两个变量的取值x,y,y的值不能由x确定,在此,我们将两者之间的关系表示为y=a+bx+ε,其中 是确定性函数, 称为随机误差. 2.随机误差产生的主要原因 (1)所用的 不恰当引起的误差; (2)忽略了 ; (3)存在 误差. 3.线性回归模型中a,b值的求法 将y= 称为线性回归模型. a,b的估计值为,,则 其中=xi,=yi. 4.回归直线和线性回归方程 直线=+x称为回归直线,此直线方程称为线性回归方程,其中称为 ,称为 ,称为 . [基点训练] 1.判断正误(正确的划“√”,错误的划“×”) (1)在线性回归模型中,ε是bx+a预报真实值y的随机误差,它是一个可观测的量. ( ) (2)用最小二乘法求出的可能是正的,也可能是负的. ( ) (3)随机误差平方和越大,线性回归模型的拟合效果越好. ( ) (4)线性回归方程=x+必过点(,). ( ) 2.用最小二乘法得到一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)的线性回归方程为=2x+3,若xi=30,则yi= ( ) A.11 B.13 C.63 D.78 3.某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据,运用Excel软件计算得=0.577x-0.448(x为人的年龄,y为人体脂肪含量).对年龄为37岁的人来说,下面说法正确的是 ( ) A.年龄为37岁的人体脂肪含量一定为20.90 B.年龄为37岁的人体脂肪含量约为21.01 C.年龄为37岁的人群中的人体脂肪含量平均为20.90 D.年龄为37岁的人群中的大部分人的人体脂肪含量约为31.5 题型(一) 回归方程与样本中心 [例1] 为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其线性回归方程为=x+.已知xi=225,yi=1 600,=4,该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为 ( ) A.162 B.166 C.170 D.174 听课记录: [思维建模]已知线性回归方程=x+,有以下结论 (1)表示x每增加1个单位,y的平均变化量,>0为正相关,<0为负相关. (2)回归直线过样本中心点(,),其他测量值不一定满足方程. (3)由方程得到的值为预测值,有一定的偏差,但有一定的指导作用. [针对训练] 1.已知变量x和y的统计数据如表: x 1 2 3 4 5 y 6 6 7 8 8 根据上表可得线性回归方程为=0.6x+,据此可以预测当x=8时,= ( ) A.8.5 B.9 C.9.5 D.10 2.[多选]根据某班学生的物理成绩y,数学成绩x,得到y与x具备线性相关关系,并求得其线性回归方程为=22.05+0.625x,则下列说法正确的是 ( ) A.x与y正相关,说明数学成绩优秀对物理的学习有一定的促进作用 B.某同学数学考了96分,可以预测他的物理成绩约为82分 C.某同学数学因为其他原因没考,则他物理能考22.05分 D.数学每提高1分,物理大约会提高0.625分 题型(二) 求线性回归方程 [例2] 全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为2018~2023年全球新能源汽车的销售量情况统计. 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份编号x 1 2 3 4 5 6 销售量y/ 百万辆 2.02 2.21 3.13 6.70 10.80 14.14 若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示,回答如下问题: (1)求变量y与x的相关系数r(结果精确到0.01); (2)求y关于x的线性回归方程,并据此预测2025年全球新能源汽车的销售量. 参考数据:xiyi=181.30,=380.231,≈4.2, ≈11.2. 听课记录: [思维建模] 1.求线性回归方程的基本步骤 (1)列出散点图,从直观上分析数据间是否存在线性相关关系; (2)计算:xiyi; (3)代入公式求出=x+中参数,的值; (4)写出线性回归方程并对实际问题作 ... ...
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