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课件网) §4.4 幂函数 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 <<< 1.掌握幂函数的概念.(重点) 2.掌握幂函数y=xα的图象与性质.(重点) 3.会根据幂函数的单调性比较幂值的大小.(难点) 学习目标 同学们，我们说要想学好数学，就要先了解它的发展史，比如我们今天要学习的幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积.《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次乘方的结果.到了明清时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂.清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念. 导 语 一、幂函数的概念 二、幂函数的图象和性质 课时对点练 三、幂函数性质的应用 随堂演练 内容索引 幂函数的概念 一 提示 不是，自变量x的位置在底数位置，不符合指数函数定义. 函数y=是指数函数吗？为什么？ 问题1 幂函数的定义 一般地，函数y=xα称为幂函数，其中α为常数. (1)xα的系数为1. (2)底数为自变量x. (3)指数α为常数. 注 意 点 <<< (1)(多选)下列函数为幂函数的是 A.y=x3 B.y= C.y=4x2 D.y=x 例 1 B项为指数函数； C中的函数的系数不为1； A，D为幂函数. 解析 √ √ (2)已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数，则m= ，n= . -3或1 由题意得 解得或 所以m=-3或1，n=. 解析 幂函数的判断方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量x，③幂的系数为1.形如y=(3x)α，y=2xα，y=xα+5，…形式的函数都不是幂函数. 反 思 感 悟 (1)已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数，则a+b等于 A.2 B.1 C. D.0 跟踪训练 1 因为f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数， 所以a=1，-b+1=0， 即a=1，b=1，则a+b=2. 解析 √ (2)点A(4，2)在幂函数f(x)的图象上，则f(f(9))= . 设f(x)=xa，则f(4)=4a=2 a=，故f(x)=， 所以f(9)==3，则f(f(9))=f(3)=. 解析 二 幂函数的图象和性质 提示 在同一平面直角坐标系中，你能画出幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=，y=x-1的图象吗？ 问题2 1.五个幂函数的图象 2.五个幂函数的性质 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R [0，+∞) _____ 值域 R _____ R _____ _____ 奇偶性 _____ _____ _____ _____ _____ 单调性 在R上是 _____ 在[0，+∞)上是 _____，在(-∞，0]上是_____ 在R上是 _____ 在_____上是_____ 在(0，+∞)上是 _____，在(-∞，0)上是_____ 公共点 (1，1) {x|x≠0} [0，+∞) [0，+∞) {y|y≠0} 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 增函数 增函数 减函数 增函数 [0，+∞) 增函数 减函数 减函数 (1)所有的幂函数在区间(0，+∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1，1).在第四象限内都没有图象.在第二、三象限内的图象可由函数的奇偶性画出. (2)当α>0时，幂函数的图象都通过点(0，0)，在第一象限内，当0<α<1时，曲线上凸；当α>1时，曲线下凸，并且在区间[0，+∞)上是增函数. 注 意 点 <<< (3)当α<0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限逼近x轴. (4)在x=1右侧，幂函数y=xα的指数α从 下向上看递增，即“指大图高”“指 小图低”. 注 意 点 <<< (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则对应于c1，c2，c3，c4的n依次为 A.-2，-，2 B.2，，-，-2 C.-，-2，2， D.2，，-2，- 例 2 √ 根据幂函数y=xn的性质， 故c1的n=2，c2的n=， 当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭， 所以曲线c3的n=-，曲线c4的n=-2. 解析 (2)函数y=的大致图象是 ∵函数y=是奇函数，且α=>1， ∴函数y=的大致图象为B. 解析 √ 解决幂函数 ... ...
