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课件网) 1.最值 一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值,最值反映的是这组数最极端的情况.一 般地,最大值用max表示,最小值用min表示. 2.平均数 (1)如果给定的一组数是x1,x2,…,xn,则这组数的平均数为 = (x1+x2+…+xn),简记为 = xi. (2)求和符号 的性质:① (xi+yi)= xi+ yi;② (kxi)=k xi;③ t=nt. (3)若x1,x2,…,xn的平均数为 ,且a,b为常数,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数为a +b. 知识 清单破 5.1.2 数据的数字特征 知识点 数据的数字特征 3.中位数 如果一组数有奇数个数,且按照从小到大排列后为x1,x2,…,x2n+1,则称xn+1为这组数的中位 数;如果一组数有偶数个数,且按照从小到大排列后为x1,x2,…,x2n,则称 为这组数的中位 数. 4.百分位数 (1)一组数的p%(p∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值:至少有p%的数据不大于 该值,且至少有(100-p)%的数据不小于该值. (2)求p%分位数的步骤: ①将数据按照从小到大排列(假设排列后的数据为x1,x2,…,xn); ②计算i=np%的值; ③如果i不是整数,设 为大于i的最小整数,取 为p%分位数;如果i是整数,取 为p%分位 数. 规定:0分位数是x1(即最小值),100%分位数是xn(即最大值). (3)常用的百分位数:25%分位数(第一四分位数),50%分位数(中位数),75%分位数(第三四分位 数). 5.众数 一组数据中,出现次数最多的数据. 6.极差 一组数的最大值减去最小值所得的差. 7.方差与标准差 (1)如果x1,x2,…,xn的平均数为 ,则方差为s2= (xi- )2.方差的算术平方根称为标准差. (2)若x1,x2,…,xn的方差为s2,则ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2,x1+a,x2+a,…,xn+a的方差为s2. 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”. 1.平均数受数据的极端值影响较大. ( ) 2.中位数、众数一定是样本数据中的某个数. ( ) 3.一组数据的标准差越小,数据越稳定,且稳定在平均数附近. ( ) 4.某次数学测试成绩的70%分位数是85分,则有70%的同学测试成绩小于或等于85分.( ) √ 中位数可能是样本数据中的某个数,也可能是通过将样本数据按照从小到大排列后,计 算中间两个数的平均值得到的,此时中位数不一定是样本数据中的数.若一组数据中每个数据出现的次数一样多,则没有众数. 提示 √ √ 讲解分析 疑难 情境破 疑难 对数据的数字特征的理解 平均数 中位数/百分位数 方差/标准差 意义 数据的代表值 描述数据百分位置的量 描述数据相对于平均数的离散程度的量 优点 计算方便,性质优良, 应用广泛 受极端值影响小 计算方便,性质优良,应用广泛 缺点 数据中有极端值时,平均数的代表性差 没有利用数据的全部信息 方差受数据单位或量纲的影响 适用 范围 反映变量的一般水平,常用于比较 确定定额,制订标准 评价生产的稳定性,加工零件的精度等 典例1 已知一组数据为7,10,14,8,7,12,11,10,8,10,13,10,8,11,8,9,12,9,13,20,那么这组数据的 25%分位数是 ( ) A.8 B.9 C.10 D.11 A 解析 将这组数据从小到大排列,依次是7,7,8,8,8,8,9,9,10,10,10,10,11,11,12,12,13,13,14,20,共 20个数据,且20×25%=5, 所以这组数据的25%分位数是第5项与第6项数据的平均数,即8,故选A. 典例2 (多选)某赛季甲、乙两名篮球运动员的5场比赛得分如下(其中x,y处的数字被污损): 甲:6,14,28,34,3x; 乙:12,25,26,2y,31. 已知甲得分的极差为32,乙得分的平均数为24,则( ) A.x=8 B.甲得分的方差是736 C.乙得分的中位数和众数不相等 D.乙得分的方差小于甲得分的方差 AD 解析 由甲得分的极差为32,得30+x-6=32, 解得x=8,A正确; 甲得分的平均数为 ×(6+14+28+34+38)=24, 故甲得分的方差为 ×[(6-24)2+(14-24)2+(28-24)2+(34-24)2+(38-24)2]= ,故B错误; 由乙得分的平均数为24, ... ...
