6.3 平面向量线性运算的应用 基础过关练 题组一 向量在平面几何中的应用 1.已知△ABC中,点G为△ABC所在平面内一点,则“=0”是“点G为△ABC的重心”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.在△ABC中,若 (其中k是非零常数),则△ABC的形状一定是( ) A.正三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 3.如图,在正八边形ABCDEFGH中,若(λ,μ∈R),则λ+μ的值为 . 4.已知P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点,如图所示. (1)试用向量法证明PQ∥AB; (2)若AB=3CD,求PQ∶AB. 题组二 向量在物理中的应用 5.若向量=(-3,-2)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|=( ) A. 6.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的部分.某学生做引体向上运动,当他处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为200 N,则该学生的体重(单位:kg)为(参考数据:取g=10 N/kg)( ) A.60 B.61 C.75 D.60 7.有一条宽为 km的河,水流速度v1的大小为|v1|=2 km/h,在河两岸分别有码头A,B,已知AB= km,一艘船在水中的航行速度v2的大小为|v2|=4 km/h,问怎样安排行船速度,可使该船从码头A最快到达码头B 此时用时多少 答案与分层梯度式解析 6.3 平面向量线性运算的应用 基础过关练 1.C 2.C 5.C 6.D 1.C =0,则G是△ABC的重心,即充分性成立; 若G是△ABC的重心,则=0, 而,所以=0,必要性成立,故选C. 2.C 在△ABC中,∵(其中k是非零常数), ∴), ∴, ∴, 又不共线,∴=0, ∴||,∴△ABC是等腰三角形.无法判断其是不是正三角形、钝角三角形、直角三角形.故选C. 3.答案 解析 设正八边形ABCDEFGH的中心为O,以O为坐标原点,HD,BF所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图, 连接OC,设AC交y轴于M点,易得∠AOB=∠COB=∠AOH= ∠EOD==45°,且AC⊥y轴, 则△AOM,△MOC均为等腰直角三角形. 设OD=2,则OC=OF=OE=OA=OD=2, 所以AM=OM=MC=,所以F(0,2),A(-),易知C与E关于x轴对称,所以E(), 所以,0), 由得(2), 即所以λ+μ=2-. 4.解析 (1)证明:连接CQ. ∵Q为BD的中点,∴. ∵P为AC的中点,∴. ∴2. ∵,∴设,λ∈R, ∴2,即2, ∴.又||≠||,∴λ≠-1, ∴,∴PQ∥AB. (2)∵向量反向,且AB=3CD, ∴, 结合(1)可知,∴PQ∶AB=1∶3. 5.C F1+F2==(1,1)+(-3,-2)=(-2,-1),所以|F1+F2|=. 6.D 如图,|,∠AOB=60°, 作平行四边形OACB,则四边形OACB是菱形,,且||sin 60°=600,所以|G|=||=600, 因此该学生的体重为=60(kg). 7.解析 如图所示,设=v1,=v2,以AC,AD为邻边作平行四边形ACED.当AE与AB所在直线重合时可使船最快到达码头B. 由题意知AC⊥AE,||=2 km/h,||=4 km/h,∠AED=90°, ∴| km/h,sin∠EAD=, ∴∠EAD=30°. 此时到达码头B用时为=0.5(h). 故当船头与水流成120°角时,可使该船从码头A最快到达码头B,此时用时0.5 h. 6(
课件网) 6.3 平面向量线性运算的应用 疑难 情境破 讲解分析 1.用向量法解决平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为 向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 疑难 1 利用向量法解决平面几何问题 2.利用向量解决平面几何问题的方法 (1)基底法:选取适当的基底,将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律等 计算; (2)坐标法:建立平面直角坐标系,把几何图形放在坐标系中,赋予相关点与相关向量具体的坐 标,进行相应的代数运算和向量运算,从而解决问题. 典例1 如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是边AD,DC的中点,连接BE,BF,分别交AC于 点R,T.求证:AR=RT=TC. 证明 设 =a, ... ...
