(课件网) 第2课时 等比数列的判定及性质 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 1915年，波兰数学家谢尔宾斯基创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示.我们来数一数图中那些白色的同一类三角形的个数，可以得到一列数：1，3，9，27，…，我们知道这是一个等比数列. 【问题】 在等差数列{ an }中有这样的性质：若 m ＋ n ＝ p ＋ q ，那么 am ＋ an ＝ ap ＋ aq ，用上述情境中的数列验证，在等比数列中是否有 类似的性质？ 知识点 等比数列{ an }的常用性质 { an }是等比数列，首项为 a1，公比为 q ，则 （1） an ＝ am · （ n ， m ∈N*）； （2）若 m ＋ n ＝ p ＋ q （ m ， n ， p ， q ∈N*），则 ； 特别地，①若 m ＋ n ＝2 r ，则 aman ＝ ， m ， n ， r ∈N*； ② a1 an ＝ a2 an－1＝…＝ aian＋1－ i ＝…（ i ＝1，2，3，…， n ）； （3）若 m ＋ n ＋ t ＝ p ＋ r ＋ s ，则 amanat ＝ aparas ，其中 m ， n ， t ， p ， r ， s ∈N*； qn－ m aman ＝ apaq （4）若 m ， n ， p （ m ， n ， p ∈N*）成等差数列，则 am ， an ， ap 成 等比数列. 【想一想】 等比数列两项之间的关系 an ＝ amqn－ m 中，当 n ≤ m 时成立吗？ 提示：成立. 1. （2024·日照月考）在等比数列{ an }中， a2＝27， q ＝－ ，则 a5＝ （ ） A. －3 B. 3 C. －1 D. 1 解析： a5＝ a2· q3＝27×（－ ）3＝－1. 2. 公比为2的等比数列{ an }的各项都是正数，且 a3 a11＝16，则 a5 ＝ . 解析：由等比数列的性质，知 ＝ a3 a11＝16.又数列{ an }的各项 都是正数，所以 a7＝4.又 a7＝ a5× q2，则 a5＝ ＝1. 1 3. 在等比数列{ an }中，若 a3 a4 a5＝3， a6 a7 a8＝24，试求 a9 a10 a11的值. 解：因为{ an }为等比数列，所以 a3 a4 a5， a6 a7 a8， a9 a10 a11仍为等 比数列，公比 q ＝ ＝ ＝8， 所以 a9 a10 a11＝（ a6 a7 a8）· q ＝24×8＝192. 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 题型一 等比数列的判定与证明 【例1】 已知数列{ an }中， a1＝1， an＋1＝2 an ＋ n －1. （1）求证：数列{ an ＋ n }为等比数列； 解： 证明：由 an＋1＝2 an ＋ n －1，得 an＋1＋ n ＋1＝2 an ＋2 n ＝2（ an ＋ n ），易知 an ＋ n ≠0，∴ ＝2，且 a1＋1＝2，∴数列 { an ＋ n }是首项与公比都为2的等比数列. （2）求数列{ an }的通项公式. 解：由（1）得 an ＋ n ＝2·2 n－1＝2 n ，∴ an ＝2 n － n . 通性通法 判定或证明数列为等比数列的常用方法 （1）定义法： ＝ q （ q 为常数且 q ≠0）等价于{ an }是等比数列； （2）通项公式法： an ＝ a1 qn－1（ a1≠0且 q ≠0）等价于{ an }是 等比数列； （3）等比中项法：若对于任意连续非零三项 an－1， an ， an＋1，都有 ＝ an－1 an＋1（ n ≥2且 n ∈N*），则数列{ an }是等比数列. 提醒 证明一个数列是等比数列，只能用定义法或等比中项法. 【跟踪训练】 1. 数列{ an }中，“ ＝ an－1 an＋1对任意 n ≥2且 n ∈N*都成立”是 “{ an }是等比数列”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析： 易知“{ an }是等比数列”能推出“ ＝ an－1 an＋1对任 意 n ≥2且 n ∈N*都成立”.当 n ≥2时，若 an ＝ an－1＝ an＋1＝0，满 足 ＝ an－1 an＋1，此时{ an }不是等比数列.故“ ＝ an－1 an＋1对 任意 n ≥2且 n ∈N*都成立”是“{ an }是等比数列 ... ...
