(课件网) 培优课 数列前n项和的求法 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 题型一 并项转化法求和 【例1】 已知数列 an ＝（－1） nn ，求数列{ an }的前 n 项和 Sn . 解：若 n 是偶数，则 Sn ＝（－1＋2）＋（－3＋4）＋（－5＋6）＋… ＋[－（ n －1）＋ n ]＝ . 若 n 是奇数，则 Sn ＝（－1＋2）＋（－3＋4）＋（－5＋6）＋…＋ [－（ n －2）＋（ n －1）]＋（－ n ）＝ － n ＝－ . 综上所述， Sn ＝ 通性通法 并项转化法求和的解题策略 （1）一般地，当数列中的各项正负交替，且各项的绝对值成等差数 列时，可以采用并项转化法求和； （2）在利用并项转化法求和时，因为数列的各项是正负交替的，所 以一般需要对项数 n 进行分类讨论，但最终的结果却往往可以用 分段形式来表示. 【跟踪训练】 若数列{ an }的通项公式是 an ＝（－1） n＋1·（3 n －2），则 a1＋ a2＋… ＋ a2 024＝（ ） A. －3 027 B. 3 027 C. －3 036 D. 3 036 解析： S2 024＝（1－4）＋（7－10）＋…＋（6 067－6 070）＝ 1 012×（－3）＝－3 036. 题型二 分组转化法求和 【例2】 若数列{ an }满足 an ＝则 a1＋ a2＋ a3 ＋…＋ a10＝ .（用具体数值作答） 解析：由题意可得： a1＋ a2＋ a3＋…＋ a10＝1＋2＋5＋22＋…＋17＋ 25＝（1＋5＋…＋17）＋（2＋22＋…＋25）＝ ＋ ＝45＋62＝107. 107 通性通法 分组求和的适用题型 一般情况下，形如 cn ＝ an ± bn ，其中数列{ an }与{ bn }一个是等 差数列，另一个是等比数列，求数列{ cn }的前 n 项和，分别利用等差 数列和等比数列前 n 项和公式求和即可. 【跟踪训练】 已知数列{ an }满足 a1＝1， an＋1＝2 Sn ＋1，其中 Sn 为{ an }的前 n 项 和， n ∈N*. （1）求数列{ an }的通项公式； 解： 当 n ＝1时， a2＝2 a1＋1＝3.当 n ≥2时， an ＝2 Sn－1＋ 1，则 an＋1－ an ＝2 an ，即 an＋1＝3 an ，且 a2＝3 a1.故{ an }是以1 为首项，3为公比的等比数列，所以 an ＝3 n－1. （2）设{ bn － an }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . 解： 由题意 bn － an ＝1＋2（ n －1）＝2 n －1，所以 bn ＝3 n －1＋2 n －1，所以 Tn ＝ b1＋ b2＋…＋ bn ＝（30＋31＋…＋3 n－1） ＋（1＋3＋…＋2 n －1）＝ ＋ n2＝ ＋ n2. 题型三 裂项相消法求和 【例3】 已知各项均为正数的等差数列{ an }满足 a1＝1， ＝ ＋2（ an＋1＋ an ）. （1）求{ an }的通项公式； 解： 各项均为正数的等差数列{ an }满足 a1＝1， ＝ ＋2（ an＋1＋ an ）， 整理得（ an＋1＋ an ）（ an＋1－ an ）＝2（ an＋1＋ an ）， 由于 an＋1＋ an ≠0，所以 an＋1－ an ＝2， 故数列{ an }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以 an ＝2 n －1. （2）记 bn ＝ ，求数列{ bn }的前 n 项和 Sn . 解： 由（1）可得 bn ＝ ＝ ＝ ， 所以 Sn ＝ ×（ －1＋ － ＋…＋ － ） ＝ （ －1）. 通性通法 1. 裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使 之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂 项与消项. （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被 消去项的规律为止； （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几 项，后边就剩倒数第几项. 2. 裂项时常用的三种变形 （1） ＝ （ － ）（ k ≠0）； （2） ＝ （ － ）； （3） ＝ （ － ）（ k ≠0）. 【跟踪训练】 求数列 an ＝ 的前 n 项和. 解：由 an ＝ ， 设2 n ＋3＝ m ，则 an ＝ ＝ （ － ）， 即 an ＝ （ － ）， 所以 Sn ＝ ［（ － ）＋（ － ）＋…＋ ... ...
