第六章 计数原理 章末复习与总结（课件 学案）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第三册

一、两个计数原理 　　分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础，在进行计数过程中，常因分类不明、分步不清导致增（漏）解，因此在解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性，甚至还要考虑步与步之间的连贯性. 【例1】　（1）设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米跑、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则（a，b）为（　　） A.（34，34）　　　　　　B.（43，34） C.（34，43） D.（，） （2）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上1种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色.如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法共有　　　　种. 反思感悟 应用两个计数原理计数的四个步骤 （1）明确完成的这件事是什么； （2）思考如何完成这件事； （3）判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类； （4）选择计数原理进行计算. 【跟踪训练】 （2024·驻马店一中月考）“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3 443，94 249等.显然2位“回文数”有9个：11，22，33，…，99；3位“回文数”有90个：101，111，121，…，191，202，…，999；则 （1）4位“回文数”有　　　　个； （2）2n＋1（n∈N*）位“回文数”有　　　个. 二、排列与组合 　　排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举足轻重的作用，解决排列与组合问题常用的方法有：（1）合理分类，准确分步；（2）特殊优先，一般在后；（3）先取后排，间接排除；（4）相邻捆绑，间隔插空；（5）抽象问题，构造模型；（6）均分除序，定序除序. 【例2】　（1）（多选）某学校举行校园歌手大赛，共有4名男生，3名女生参加，组委会对他们的出场顺序进行安排，则下列说法正确的是（　　） A.若3个女生不相邻，则有144种不同的出场顺序 B.若女生甲在女生乙的前面，则有2 520种不同的出场顺序 C.若4位男生相邻，则有576种不同的出场顺序 D.若学生的节目顺序已确定，再增加两个教师节目，共有72种不同的出场顺序 （2）暑期安排包括大睿和小涛在内的7名学生去参加A，B，C三个夏令营，其中A营安排3人，B，C各安排2人，要求大睿和小涛不能在同一夏令营，则不同的安排方案有　　　　种. 反思感悟 解决排列、组合问题的注意点 （1）“在”与“不在”问题常是排列问题，一般贯彻特殊元素或特殊位置要优先安排，没有限制条件的可以任意排列；“邻”与“不邻”通常采用捆绑法与插空法，捆绑法时注意小团体内部的排列，插空法要注意与“相间排列”的区别； （2）“含有”或“不含有”问题常是组合问题，“含”则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.“至少”或“至多”含有几个元素的组合问题常采用直接法和间接法，一般来说用直接法分类复杂时，用间接法处理，即正难则反. 【跟踪训练】 一条沿江公路上有18盏路灯，为节约用电，现打算关掉其中4盏路灯，为安全起见，要求公路的头尾两盏路灯不可关闭，关掉的相邻两个路灯之间至少有3盏亮着的路灯，则不同的方案共有　　　种. 三、二项式定理 　　二项式定理有比较广泛的应用，可用于代数式的化简、变形、证明整除、近似计算、证明不等式等，其原理可以用于解决二项式相应展开式中项的系数问题. 【例3】　（1）在（－1＋）（1＋）6的展开式中，的系数为（　　） A.－60 B.60 C.－80 D.80 （2）在（ax－y＋z）7的展开式中，记xmynzk项的系数为f（m，n，k），若f（3，2，2）＝，则a的值为　　　　. 反思感悟 1.处理几个多项式的和、积的展开式或三项式甚至多项式特定项问题，都是转化为二项式问题，体现了转化与化归的数学思想. 2.二项式定理给出的 ... ...