一、数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.本章中向量数量积的运算、最值，三角函数式的求值都彰显核心素养中的数学运算. 培优一 平面向量的数量积 【例1】 （1）（2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（ ） A.－2 B.－1 C.1 D.2 （2）已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜＝｜b｜＝2，则a在a－b方向上的投影的数量为（ ） A.1 B. C. D. 尝试解答 培优二 平面向量中的最值问题 【例2】 已知平面单位向量e1，e2满足｜2e1－e2｜≤.设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则cos2θ的最小值是 . 尝试解答 培优三 三角函数式的求值 【例3】 （1）（2024·全国甲卷理8题）已知＝，则tan（α＋）＝（ ） A.2＋1 B.2－1 C. D.1－ （2）（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知cos（α＋β）＝m，tan αtan β＝2，则cos（α－β）＝（ ） A.－3m B.－ C. D.3m （3）（2024·新高考Ⅱ卷13题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin（α＋β）＝ . 尝试解答 二、逻辑推理 在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出问题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系，构建知识框架；形成论据充分、条理清楚、合乎逻辑的思维品质，在本章中向量数量积的应用、三角函数式的化简与证明、三角恒等变换与三角函数的综合应用都是提升学生的逻辑推理能力. 培优四 向量数量积的应用 【例4】 若三个不共线的向量，，，满足·＝·（＋）＝·＝0，则点O为△ABC的（ ） A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 尝试解答 培优五 三角函数式的化简与证明 【例5】 证明：＝tan θ. 尝试解答 培优六 三角恒等变换与三角函数的综合问题 【例6】 已知函数f（x）＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R. （1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在上的最小值和最大值. 尝试解答 章末复习与总结 【例1】 （1）D （2）B 解析：（1）法一 因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D. 法二 因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得x＝2，故选D. （2）由向量的数量积公式可得a·（a－b）＝｜a｜｜a－b｜·cos＜a，a－b＞，∴a在a－b方向上的投影的数量为｜a｜cos＜a，a－b＞＝＝ .又a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝2×2×cos 120°＝－2，｜a｜＝｜b｜＝2，∴｜a｜cos＜a，a－b＞＝＝，故选B. 【例2】 解析：法一 因为单位向量e1，e2满足｜2e1－e2｜≤， 所以｜2e1－e2｜2＝5－4e1·e2≤2， 即e1·e2≥. 因为a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，a，b的夹角为θ， 所以cos2 θ＝＝ ＝＝. 不妨设t＝e1·e2，则t≥，cos2 θ＝， 又y＝在上单调递增， 所以cos2 θ≥＝， 所以cos2 θ的最小值为. 法二 由题意，不妨设e1＝（1，0），e2＝（cos x，sin x）. 因 ... ...
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